Tìm số dư của phép chia $ 2 ^ { 200 } $ cho 125.

Phân tích $ 2 ^ { 200 } =2 ^ { 2.100 } =4 ^ { 100 } =\left ( { 1-5 } \right ) ^ { 100 } \,=\,\left ( { * } \right ) $ Áp dụng công thức nhị thức Newton $ \left ( { a+b } \right ) ^ { n } =∑ \limits_{ k=0 } ^ n { C_{ n } ^{ k }a ^ { n-k } b ^ { k } } $với $ a=1;\,\,b=-5;\,\,n=100 $ ta có $ \left ( { * } \right )=∑ \limits_{ k=0 } ^ 100 { C_{ 100 } ^{ k }\left ( { -1 } \right ) ^ { k } 5 ^ { k } } $. Vì $ 125=5 ^ { 3 } $nên với $ k≥3 $thì các số hạng của tổng sẽ chia hết cho 125. Với $ k=0;\,k=1;\,k=2 $thì ta được tổng 3 số hạng đầu là: $ C_{ 100 } ^{ 0 }5 ^ { 0 } .\left ( { -1 } \right ) ^ { 0 } .5 ^ { 0 } +C_{ 100 } ^{ 1 }.\left ( { -1 } \right ) ^ { 1 } .5 ^ { 1 } +C_{ 100 } ^{ 2 }.\left ( { -1 } \right ) ^ { 2 } .5 ^ { 2 } =1+\left ( { -100.5 } \right )+4950.25 $ $ =1+\left ( { -500 } \right )+123750 $. Vì $ -500\vdots 125 $ và $ 123750\vdots 125 $nên $ 2 ^ { 200 } $chia cho 125 dư 1.