Như hình, với hai số thực $ a,k>1 $, đường thẳng $ y=k $ lần lượt cắt hai đồ thị $ y=2\log_{ a } x+k,\quad y=a ^ { x-k } $ tại các điểm $ A,B $, và đường thẳng $ x=k $ lần lượt cắt hai đồ thị $ y=2\log_{ a } x+k,\quad y=a ^ { x-k } $ tại các điểm $ C,D $. Khi $ AB.CD=85 $ và diện tích tam giác $ CAD $ bằng 35, hãy tìm giá trị của $ a+k $.

Xét tại $ A:y_{ A } =k⇔k=2\log_{ a } x+k⇔x_{ A } =1 $ Xét tại $ B:y_{ B } =k⇔k=a ^ { x-k } ⇔\log_{ a } k=x-k⇒x_{ B } =\log_{ a } k+k $ Xét tại $ C:x_{ C } =k⇔y_{ C } =k+2\log_{ a } k $ Xét tại $ D:x_{ D } =k⇔y_{ D } =a ^ { k-k } =1 $ Khi $ AB.CD=85⇔(k-1+\log_{ a } k).(k-1+2\log_{ a } k)=85 $ (1) Khi diện tích tam giác $ CAD $ bằng 35 thì $ \frac { 1 } { 2 }\left ( { k-1+2\log_{ a } k } \right )\left ( { k-1 } \right )=35⇔2\log_{ a } k=\frac { 70 } { k-1 }-\left ( { k-1 } \right )⇔\log_{ a } k=\frac { 35 } { k-1 }-\frac { k-1 } { 2 } $ (2) Thế (2) vào (1) ta được: $ \left ( { \frac { 35 } { k-1 }+\frac { k-1 } { 2 } } \right )\left ( { \frac { 70 } { k-1 } } \right )=85⇔\frac { 49 } { (k-1) ^ { 2 } }=1⇔k-1=7⇔k=8 $ (3) (vì $ k>1 $) Thế (3) vào (2) ta được: $ \log_{ a } 8=\frac { 3 } { 2 }⇒a=\left ( { 2 ^ { 3 } } \right ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } =4 $ Vậy $ a+k=4+8=12 $