Với số thực $ a>1 $, trên hình, gọi $ A,B $ lần lượt là hai điểm giao của đồ thị $ y=\left | { \log_{ a } x } \right | $ với đường thẳng $ y=k $ (với $ k>0 $), và gọi $ C $ là điểm giao của đường thẳng $ y=k $ với trục $ Ox $. Khi $ OC=CA=AB $ gọi $ d $ là khoảng cách giữa hai điểm mà đồ thị $ y=\left | { \log_{ a } x } \right | $ và đường thẳng $ y=2\sqrt[] { 2 } $ cắt nhau. Tính giá trị của $ 20d $. (Ở đây $ O $ là gốc toạ độ, và hoành độ của $ A $ nhỏ hơn hoành độ của $ B $).

Ta có $ C\left ( { 0;k } \right ) $ Xét tại $ A:k=-\log_{ a } x⇔x_{ A } =a ^ { -k } $ Xét tại $ B:k=\log_{ a } x⇒x_{ B } =a ^ { k } $ Vì $ OC=CA=AB $ hay: $ k=a ^ { -k } =a ^ { k } -a ^ { -k } ⇔\left \{ \begin{array}{l} k=\frac { 1 } { a ^ { k } } \\ k=\frac { 1 } { k }-k \end{array} \right.⇔2k=\frac { 1 } { k }⇔k=\frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } }\,(k>0) $ Ta được $ \frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } }=\frac { 1 } { a ^ { \frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } } } }⇒a=\left ( { \sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { \sqrt[] { 2 } } =2 ^ { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } } $ Xét giao điểm của đồ thị $ y=\left | { \log_{ a } x } \right | $ và đường thẳng $ y=2\sqrt[] { 2 } $, ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} 2\sqrt[] { 2 }=\log_{ a } x⇒x_{ A } =a ^ { 2\sqrt[] { 2 } } =\left ( { 2 ^ { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } } } \right ) ^ { 2\sqrt[] { 2 } } =4 \\ -2\sqrt[] { 2 }=\log_{ a } x⇒x_{ B } =a ^ { -2\sqrt[] { 2 } } =\left ( { 2 ^ { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } } } \right ) ^ { -2\sqrt[] { 2 } } =\frac { 1 } { 4 } \end{array} \right. $ Vậy $ d=4-\frac { 1 } { 4 }=\frac { 15 } { 4 }⇒20d=75 $