Cho hai đồ thị $ y=\log_{ 2 } x,\quad y=\log_{ 2 } (x-p)+q $ cắt nhau tại điểm $ (4;2) $. Gọi $ A,B $ lần lượt là giao của $ y=\log_{ 2 } x $ và $ y=\log_{ 2 } (x-p)+q $ với trục $ Ox $, và gọi $ C,D $ lần lượt là giao của $ y=\log_{ 2 } x $ và $ y=\log_{ 2 } (x-p)+q $ với đường thẳng $ y=3 $. Giả sử $ CD-BA=\frac { 3 } { 4 } $ với $ 0 < p < 4,q>0 $. Tính giá trị của $ p+q $.

Ta có $ 2=\log_{ 2 } (4-q)+q⇔2 ^ { 2-q } =4-p⇔4.2 ^ { -q } =4-p⇔2 ^ { -q } =\frac { 4-p } { 4 } $ (1) Ta có $ A\left ( { 1;0 } \right ) $, xét tại $ B:0=\log_{ 2 } (x-p)+q⇔x_{ B } =p+2 ^ { -q } $ Ta có $ C\left ( { 8;3 } \right ) $, xét tại $ D:3=\log_{ 2 } \left ( { x-p } \right )+q⇔x_{ D } =p+2 ^ { 3-q } $ Khi $ CD-BA=\frac { 3 } { 4 }⇔8-p-2 ^ { 3-q } -p-2 ^ { -q } +1=\frac { 3 } { 4 }⇔2p+9.2 ^ { -q } =\frac { 33 } { 4 } $(2) Từ (1) và (2) ta được: $ 2p+\frac { 36-9p } { 4 }=\frac { 33 } { 4 }⇔p=3⇒q=2 $ Vậy $ p+q=5 $