Cho đường thẳng $ l $ có hệ số góc $ \frac { 1 } { 2 } $ cắt đồ thị $ y=\log_{ 2 } (2x) $ tại hai điểm phân biệt; trong hai điểm đó, gọi $ A $ là điểm có hoành độ lớn hơn. Đường thẳng $ l $ cắt đồ thị $ y=\log_{ 2 } (4x) $ tại hai điểm, gọi $ B $ là điểm có hoành độ lớn hơn. Khi $ AB=2\sqrt[] { 5 } $, gọi $ C $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ lên trục $ Ox $. Tính diện tích tam giác $ ACB $.

Từ $ A $ kẻ đường thẳng song song với $ Ox $, từ $ B $ kẻ đường thẳng song song với $ Oy $, hai đường thẳng này cắt nhau tại $ H $. Khi đó: Đặt $ BH=t $ suy ra được $ AH=2t $ vì hệ số góc của đường thẳng $ AB=\frac { 1 } { 2 } $. Mà $ AB=2\sqrt[] { 5 }⇒4t ^ { 2 } +t ^ { 2 } =20⇒t=2 $, ta được $ AH=4,BH=2 $ Gọi $ C\left ( { α;0 } \right ) $ suy ra $ x_{ B } =α+4 $ từ đó ta có $ y_{ A } =\log_{ 2 } 2α $ và $ y_{ B } =\log_{ 2 } 4\left ( { α+4 } \right ) $ Ta có: $ y_{ B } -y_{ A } =2⇔\log_{ 2 } 4\left ( { α+4 } \right )-\log_{ 2 } 2α=2⇔\log_{ 2 } 4\left ( { α+4 } \right )=2+\log_{ 2 } 2α \\ ⇔\log_{ 2 } 4\left ( { α+4 } \right )=\log_{ 2 } 8α⇔α=4 $ Vậy $ A\left ( { 4;3 } \right ),B\left ( { 8;5 } \right ) $ và $ C\left ( { 4;0 } \right ) $ từ đó ta tính được $ S_{ ABC } =\frac { 1 } { 2 }.3.4=6 $