Với số thực $ a>1 $, cho hai hàm $ f(x)=\frac { 1 } { 2 }\log_{ a } (x-1)-2,\quad g(x)=\log_{ \frac { 1 } { a } } (x-2)+1 $ Gọi $ A $ là giao điểm của đường thẳng $ y=-2 $ với đồ thị $ y=f(x) $. Gọi $ B,C $ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $ x=10 $ với $ y=f(x) $ và $ y=g(x) $. Khi diện tích tam giác $ ACB $ bằng 28, giá trị của $ a ^ { 10 } $ bằng bao nhiêu?

Xét tại $ A $: $ -2=\frac { 1 } { 2 }\log_{ a } (x-1)-2⇒0=\log_{ a } (x-1)⇔x-1=1⇒x=2 $ vậy $ A\left ( { 2;-2 } \right ) $ $ B\left ( { 10;\frac { 1 } { 2 }\log_{ a } 9-2 } \right ) $, $ C\left ( { 10;\log_{ \frac { 1 } { a } } 8+1 } \right ) $, từ đó ta suy ra được: $ BC=\log_{ a } 24-3 $ Diện tích tam giác $ ACB=\frac { 1 } { 2 }.\left ( { \log_{ a } 24-3 } \right ).8=28⇔\log_{ a } 24-3=7⇔a ^ { 10 } =24 $