Cho đường cong $ y=2 ^ { ax+b } $ và đường thẳng $ y=x $ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $ A,B $. Gọi $ C,D $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ A,B $ lên trục $ x $. Khi $ AB=6\sqrt[] { 2 } $ và diện tích tứ giác $ ACDB $ bằng 30, giá trị của $ 3\left ( { a+b } \right ) $ bằng bao nhiêu? (Ở đây $ a,b $ là các hằng số.)

Đặt $ A\left ( { α;α } \right ) $, kẻ $ AH⊥BD $ tại $ H $. Ta có góc $ \widehat { BAH }=45° $nên $ AH=BH=6 $, khi đó $ B\left ( { α+6;α+6 } \right ) $. Diện tích $ ACDB $ bằng $ \frac { 1 } { 2 }\left ( { α+α+6 } \right ).6=30⇒α=2→\left \{ \begin{array}{l} B\left ( { 8;8 } \right ) \\ A\left ( { 2;2 } \right ) \end{array} \right. $ Từ đó ta được: $ \left \{ \begin{array}{l} 2 ^ { 2a+b } =2 \\ 2 ^ { 8a+b } =8 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} 2a+b=1 \\ 8a+b=3 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=\frac { 1 } { 3 } \\ b=\frac { 1 } { 3 } \end{array} \right.→3\left ( { a+b } \right )=2 $