Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $f(x) = \log_{x^2 - (2m+1)x + m^2 + m + 1}(x-2)$ đồng biến trên tập xác định của nó.

Tập xác định: $D = (2; +\infty)$. Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì điều kiện là: $$ x^2 - (2m+1)x + m^2 + m + 1 > 1, \quad \forall x \in (2; +\infty) $$ $$ \Leftrightarrow x^2 - (2m+1)x + m^2 + m > 0, \quad \forall x \in (2; +\infty) $$ Xét tam thức bậc hai $y = x^2 - (2m+1)x + m^2 + m$ có: $$ \Delta = (2m+1)^2 - 4m(m+1) = 1 > 0, \quad \forall m \in \mathbb{R} $$ Suy ra tam thức bậc hai $y = x^2 - (2m+1)x + m^2 + m$ luôn có hai nghiệm $x_1 < x_2$ với mọi $m$. Theo định lí Vi-ét, ta có: $$ \left\{\begin{array}{l} x_1 + x_2 = 2m + 1 \\ x_1 x_2 = m(m+1) \end{array}\right. $$ Để hàm số đồng biến trên $(2; +\infty)$ thì tam thức bậc hai $y = x^2 - (2m+1)x + m^2 + m$ có hai nghiệm $x_1 < x_2 \leq 2$: $$ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a \cdot y(2) \geq 0 \\ \frac{S}{2} < 2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m^2 - 3m + 2 \geq 0 \\ \frac{2m+1}{2} < 2 \end{array}\right. $$ $$ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} m \geq 2 \\ m \leq 1 \end{array}\right. \\ m < \frac{3}{2} \end{array}\right. \Leftrightarrow m \leq 1 $$ Vì $m \in \mathbb{Z}$ và $m \in (-1000; 1000)$ nên $m \in \{-999; -998; \ldots; 1\}$. Vậy có $1001$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.