Cho hai hằng số $ a,k $ và đường thẳng $ x=k $ lần lượt cắt hai đồ thị $ y=2 ^ { x-1 } +1,\quad y=\log_{ 2 } (x-a) $ tại các điểm $ A,B $. Từ $ B $ vẽ đường thẳng có hệ số góc $ -1 $ cắt đồ thị $ y=2 ^ { x-1 } +1 $ tại $ C $. Biết $ AB=8,BC=2\sqrt[] { 2 } $. Gọi $ D $ là giao điểm của đồ thị $ y=\log_{ 2 } (x-a) $ với trục $ Ox $. Khi đó, diện tích tứ giác $ ACDB $ bằng bao nhiêu? (Giả sử $ 0 < a < k $).

Ta có: $ A\left ( { k;2 ^ { k-1 } +1 } \right ) $, $ B\left ( { k;\log_{ 2 } \left ( { k-a } \right ) } \right ) $ mà $ AB=8⇔2 ^ { k-1 } +1-\log_{ 2 } \left ( { k-a } \right )=8 $(1) Từ $ B $ kẻ đường thẳng song song với $ Ox $, từ $ C $ kẻ đường thẳng song song với $ Oy $, 2 đường thẳng này cắt nhau tại $ H $. Khi đó: $ HC=HB $ (vì đường thẳng $ CB $ có hệ số góc $ -1 $) mà $ BC=2\sqrt[] { 2 } $ nên $ HB=HC=2 $ từ đó ta có $ C\left ( { k-2;2 ^ { k-3 } +1 } \right ) $ Suy ra $ 2 ^ { k-3 } +1-\log_{ 2 } \left ( { k-a } \right )=2 $ (2) Từ (1) và (2) ta suy ra được $ 2 ^ { k-1 } -2 ^ { k-3 } =6⇔2 ^ { k-3 } =2⇔k=4 $. Suy ra (1) được: $ 1=\log_{ 2 } \left ( { 4-a } \right )⇔a=2 $ Từ đó ta có: $ A\left ( { 4;9 } \right ),B\left ( { 4;1 } \right ),D\left ( { 3;0 } \right ),C\left ( { 2;3 } \right ) $ suy ra diện tích tam giác $ ABC=8 $ và diện tích tam giác $ BCD=2 $. Vậy diện tích tứ giác $ ABDC=10 $