Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là nửa lục giác đều với cạnh $a$. Cạnh $SA$ vuông góc với đáy và $SA = a\sqrt{3}$. $M$ là một điểm khác $B$ và ở trên $SB$ sao cho $AM$ vuông góc với $MD$. Khi đó, tỉ số $\frac{SM}{SB} = \frac{m}{n}$. Tính $m+n$.

Lời giải Áp dụng tính chất nửa lục giác đều, ta có $BD \perp AB$. Mà hình chiếu vuông góc của đường thẳng $AM$ lên $(ABCD)$ là $AB \Rightarrow BD \perp AM$. Kết hợp $AM \perp MD$, ta được $AM \perp (SBD) \Rightarrow AM \perp SB$. Khi đó: $$ \frac{SM}{SB} = \frac{SM \cdot SB}{SB^{2}} = \frac{SA^{2}}{SB^{2}} = \frac{3a^{2}}{4a^{2}} = \frac{3}{4} $$ Do $\frac{m}{n} = \frac{3}{4}$ nên $m = 3, n = 4$. Vậy $m + n = 7$.