Một tấm ván gỗ chỉ được hỗ trợ ở hai đầu $ O $ và $ L $, cách nhau 4 m. Tấm ván võng xuống dưới do trọng lượng của nó tạo thành một đường cong. Xét trên hệ trục $ Oxy $ như hình vẽ dưới, đơn vị mỗi trục là mét, đường cong trong hình vẽ có phương trình $ y=f(x) $. Khi đó $ f ^ { ′′ } (x)=\frac { 1 } { 350 }\left ( { 12x-3x ^ { 2 } } \right ) $ với $ 0\leq x\leq 4 $. Hỏi tấm ván bị võng xuống so với phương ngang một khoảng lớn nhất bao nhiêu cm (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Khoảng võng xuống lớn nhất so với phương ngang của tấm ván là bằng với $ f(x) $ min. Do đó, ta cần đi tìm hàm $ f(x) $. Và ta sẽ sử dụng các công thức $ \left \{ \begin{array}{l} f ^ { ′ } (x)=\int f ^ { ′′ } (x)dx \\ f(x)=\int f ^ { ′ } (x)dx \end{array} \right. $ để tìm được hàm $ f(x) $. Thực hiện như sau: Ta có $ f ^ { ′ } (x)=\int f ^ { ′′ } (x)dx=\int \frac { 1 } { 350 }\left ( { 12x-3x ^ { 2 } } \right )dx=\frac { 1 } { 350 }\left ( { \frac { 12 } { 2 }x ^ { 2 } -x ^ { 3 } } \right )+C=\frac { 1 } { 350 }\left ( { 6x ^ { 2 } -x ^ { 3 } } \right )+C $ Tiếp đến, ta có $ f(x)=\int f ^ { ′ } (x)dx=\int \left ( { \frac { 1 } { 350 }\left ( { 6x ^ { 2 } -x ^ { 3 } } \right )+C } \right )dx=\frac { 1 } { 350 }\left ( { \frac { 6 } { 3 }x ^ { 3 } -\frac { x ^ { 4 } } { 4 } } \right )+Cx+D $ $ =\frac { x ^ { 3 } } { 175 }-\frac { x ^ { 4 } } { 1400 }+Cx+D $ Dựa vào hình vẽ, ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} f(0)=0 \\ f(4)=0 \\ \end{array} \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} D=0 \\ \frac { 4 ^ { 3 } } { 175 }-\frac { 4 ^ { 4 } } { 1400 }+4C+D=0 \\ \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} D=0 \\ C=-\frac { 8 } { 175 } \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. $ Suy ra $ f(x)=\frac { x ^ { 3 } } { 175 }-\frac { x ^ { 4 } } { 1400 }-\frac { 8 } { 175 }x $. Xét hàm số $ f(x)=\frac { x ^ { 3 } } { 175 }-\frac { x ^ { 4 } } { 1400 }-\frac { 8 } { 175 }x $ trên đoạn $ [0;4] $ Ta có $ f ^ { ′ } (x)=\frac { 1 } { 350 }\left ( { 6x ^ { 2 } -x ^ { 3 } } \right )-\frac { 8 } { 175 }=0⇔\frac { 1 } { 350 }\left ( { 6x ^ { 2 } -x ^ { 3 } } \right )=\frac { 8 } { 175 }⇔6x ^ { 2 } -x ^ { 3 } =16⇔-x ^ { 3 } +6x ^ { 2 } -16=0 $ $ ⇔\left[ \begin{array}{l} x=2-2\sqrt[] { 3 }(L) \\ x=2+2\sqrt[] { 3 }(L) \\ x=2(tm) \\ \end{array} \right. \\ f(0)=f(4)=0;f(2)=-\frac { 2 } { 35 }≈-0,057. $ Vậy tấm ván bị võng xuống so với phương ngang một khoảng lớn nhất là $ 0,057 m $ hay $ 5,7 cm $.