Tốc độ giải ngân 2 tỷ tiền trợ cấp $ M ^ { ′ } (t) $ dành cho một vùng A bị thiệt hại về Iũ lụt tỉ lệ thuận với bình phương của ($ 100-t $), trong đó $ t $ là thời gian tính bằng ngày $ (0\leq t\leq 100) $ và $ M(t) $ là số tiền còn lại chưa giải ngân. Hỏi số tiền còn lại chưa giải ngân sau 40 ngày là bao nhiêu triệu đồng, biết rằng toàn bộ số tiền sẽ được giải ngân trong 100 ngày.

Vì $ M ^ { ′ } (t) $ tỉ lệ thuận với bình phương của $ (100-t) $, nên ta có $ \frac { M ^ { ′ } (t) } { (100-t) ^ { 2 } }=k⇒M ^ { ′ } (t)=k(100-t) ^ { 2 } $ Theo công thức nguyên hàm, ta có $ M(t)=\int M ^ { ′ } (t)dt=\int k(100-t) ^ { 2 } dt=\int k\left ( { 10000-200t+t ^ { 2 } } \right )dt $$ =k\left ( { 10000t-100t ^ { 2 } +\frac { t ^ { 3 } } { 3 } } \right )+C $ Từ giả thiết, ta có số tiền còn lại chưa giải ngân tại thời điểm $ t=0 $ là bằng 2000 triệu đồng $ ⇒M(0)=2000⇔C=2000 $. Khi đó $ M(t)=k\left ( { 10000t-100t ^ { 2 } +\frac { t ^ { 3 } } { 3 } } \right )+2000 $ Vì toàn bộ số tiền sẽ được giải ngân trong 100 ngày nên ta có $ M(100)=0⇔k\left ( { 10000.100-100.100 ^ { 2 } +\frac { 100 ^ { 3 } } { 3 } } \right )+2000=0 ⇔k=\frac { -2000 } { 10000.100-100.100 ^ { 2 } +\frac { 100 ^ { 3 } } { 3 } } $ $ ⇔k=-0,006 $. Suy ra $ M(t)=-0,006\left ( { 10000t-100t ^ { 2 } +\frac { t ^ { 3 } } { 3 } } \right )+2000=-0,002t ^ { 3 } +0,6t ^ { 2 } -60t+2000 $ Vậy số tiền còn lại chưa giải ngân sau 40 ngày là $ M(40)=432 $ (triệu đồng)