Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi $ V(t) $ là thể tích nước bơm được sau $ t $ giây. Biết rằng $ V ^ { ′ } (t)=at ^ { 2 } +bt $ và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây, thể tích nước trong bể là $ 15 m ^ { 3 } $, sau 10 giây, thì thể tích trong bể là $ 110 m ^ { 3 } $. Thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây bằng

Ta có $ V(t)=\int \left ( { at ^ { 2 } +bt } \right )dt=\frac { at ^ { 3 } } { 3 }+\frac { bt ^ { 2 } } { 2 }+C $ Lúc đầu, bể không có nước, nên $ V(0)=0 $, suy ra $ C=0 $, và $ V(t)=\frac { at ^ { 3 } } { 3 }+\frac { bt ^ { 2 } } { 2 } $ Sau 5 giây, thể tích nước trong bể là $ 15 m ^ { 3 } $, nên ta có $ \frac { a⋅5 ^ { 3 } } { 3 }+\frac { b⋅5 ^ { 2 } } { 2 }=15 $ Sau 10 giây, thể tích nước trong bể là $ 110 m ^ { 3 } $, nên ta có $ \frac { a⋅10 ^ { 3 } } { 3 }+\frac { b⋅10 ^ { 2 } } { 2 }=110 $ Xét hệ phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac { a⋅5 ^ { 3 } } { 3 }+\frac { b⋅5 ^ { 2 } } { 2 }=15 \\ \frac { a⋅10 ^ { 3 } } { 3 }+\frac { b⋅10 ^ { 2 } } { 2 }=110 \\ \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=\frac { 3 } { 10 } \\ b=\frac { 1 } { 5 } \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. $ Thể tích của bể sau 20 giây là $ V(20)=\frac { 20 ^ { 3 } } { 10 }+\frac { 20 ^ { 2 } } { 10 }=840 m ^ { 3 } $