Một bể ban đầu chứa đầy nước, bể có dạng hình trụ với chiều cao bằng 9 m và bán kính đáy bằng 2 m. Nước bắt đầu chảy ra từ một vòi nước ở đáy bể. Gọi $ V(t) $ là thể tích chất lỏng đã thoát ra tại thời điểm $ t $ (phút) sau khi mở vòi thì $ V ^ { ′ } (t)=k(45-t),(0\leq t\leq 45) $. Biết sau 15 phút độ cao của mực nước trong bể bằng 4 m. Sau 42 phút, thể tích chất lỏng còn lại trong bể là bao nhiêu lít (làm tròn kết quả đến đơn vị).

Theo đề bài, ta có: Chiều cao bể $ H=9 m $ Bán kinh đáy bể $ R=2 m $ Thể tích ban đầu của bể: $ V_{ be } =\pi R ^ { 2 } H=\pi \left ( { 2 ^ { 2 } } \right )(9)=36\pi \left ( { m ^ { 3 } } \right ) $ Tốc độ thoát nước: $ V ^ { ′ } (t)=k(45-t)\left ( { m ^ { 3 } /phut } \right ) $. Sau 15 phút, độ cao mực nước trong bể là 4 m. $ V(t) $ là thể tích chất lỏng đã thoát ra tại thời điểm $ t $ (phút) sau khi mở vòi. Lấy nguyên hàm: $ V(t)=\int V ^ { ′ } (t)dt=\int k(45-t)dt $ $ V(t)=k\int (45-t)dt=k\left ( { \int 45dt-\int tdt } \right )⇒V(t)=k\left ( { 45t-\frac { t ^ { 2 } } { 2 } } \right )+C $ Biết tại thời điểm ban đầu $ (t=0) $ bể đầy nước nên $ V(0)=0 $ $ ⇒V(0)=k\left ( { 45.0-\frac { 0 ^ { 2 } } { 2 } } \right )+C=0⇒C=0 $. Vậy $ V(t)=k\left ( { 45t-\frac { t ^ { 2 } } { 2 } } \right ) $. Sau 15 phút, độ cao mực nước trong bể là 4 m, vậy nước thoát ra là 5 m. Thể tích nước còn lại sau 15 phút là: $ V(15)=\pi R ^ { 2 } h(15)=\pi \left ( { 2 ^ { 2 } } \right )(4)=16\pi \left ( { m ^ { 3 } } \right ) $ Thể tích nước đã thoát ra sau 15 phút là: $ V(15)=V_{ be } -V_{ conlai } =36\pi -16\pi =20\pi $ Thay $ t=15 $ và $ V(15)=20\pi $ vào công thức $ V(t) $: $ ⇒20\pi =k\left ( { 45⋅15-\frac { 15 ^ { 2 } } { 2 } } \right )⇒k(562,5)=20\pi ⇒k=\frac { 8\pi } { 225 }⇒V(t)=\frac { 8\pi } { 225 }\left ( { 45t-\frac { t ^ { 2 } } { 2 } } \right ) $ Tính $ V(42) $: $ V(42)=\frac { 8\pi } { 225 }\left ( { 45⋅42-\frac { 42 ^ { 2 } } { 2 } } \right )=\frac { 8064\pi } { 225 }\left ( { m ^ { 3 } } \right ). $ Vậy thể tích chất lỏng còn lại trong bể là: $ V=36\pi -\frac { 8064\pi } { 225 }=\frac { 36\pi } { 225 }=\frac { 4\pi } { 25 }\left ( { m ^ { 3 } } \right ) $ Đổi: $ ⇒V=\frac { 4\pi } { 25 }⋅1000=160\pi ≈503(l) $ Kết quả: Sau 42 phút, thể tích chất lỏng còn lại trong bể là khoảng 503 lít.