(THPT Triệu Sơn 4 - Thanh Hóa 2025) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(4; 1; 0)$, $B(4; 6; 6)$, $C(5; 6; 2)$, $D(7; 2; 14)$ và điểm $M(a; b; c)$ thỏa mãn $MA = 3$, $MB = 6$, $MC = 5$, $MD = 13$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến điểm $O$ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Lời giải Ta có: $$ \begin{cases} MA = 3 \\ MB = 6 \\ MC = 5 \\ MD = 13 \end{cases} $$ $$ \Leftrightarrow \begin{cases} (a - 4)^2 + (b - 1)^2 + c^2 = 9 \\ (a - 4)^2 + (b - 6)^2 + (c - 6)^2 = 36 \\ (a - 5)^2 + (b - 6)^2 + (c - 2)^2 = 25 \\ (a - 7)^2 + (b - 2)^2 + (c - 14)^2 = 169 \end{cases} $$ $$ \Leftrightarrow \begin{cases} a^2 + b^2 + c^2 - 8a - 2b = -8 \\ a^2 + b^2 + c^2 - 8a - 12b - 12c = -52 \\ a^2 + b^2 + c^2 - 10a - 12b - 4c = -40 \\ a^2 + b^2 + c^2 - 14a - 4b - 28c = -80 \end{cases} $$ Đặt $d = a^2 + b^2 + c^2$, ta được hệ phương trình: $$ \begin{cases} d - 8a - 2b = -8 \\ d - 8a - 12b - 12c = -52 \\ d - 10a - 12b - 4c = -40 \\ d - 14a - 4b - 28c = -80 \end{cases} $$ Giải hệ phương trình này, ta tìm được $a = 2$, $b = 2$, $c = 2$, $d = 12 \Rightarrow M(2; 2; 2)$. Do đó, khoảng cách từ điểm $M$ đến điểm $O$ là: $$ OM = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3,46. $$