Trong không gian với hệ toạ độ $ Oxyz $, cho $ A(1;0;1),B(2;1;2) $ và $ C(0;-4;0) $. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

Ta có: $ \overset\rightarrow { AB }=(1;1;1),\overset\rightarrow { AC }=(-1;-4;-1),k\overset\rightarrow { AC }=(-k;-4k;-k) $. Suy ra $ \overset\rightarrow { AB }\neq k\overset\rightarrow { AC } $ với mọi $ k\in \mathbb{R} $. Vậy ba điểm $ A,B,C $ không thẳng hàng. a) Đúng. Gọi tọa độ của điểm $ D $ là $ \left ( { x_{ D } ;y_{ D } ;z_{ D } } \right ) $, ta có: $ \overset\rightarrow { DC }=\left ( { -x_{ D } ;-4-y_{ D } ;-z_{ D } } \right ) $. Tứ giác $ ABCD $ là hình bình hành khi và chỉ khi Vậy tọa độ của điểm $ D(-1;-5;-1) $. b) Đúng. Gọi tọa độ của điểm $ G $ là $ \left ( { x_{ G } ;y_{ G } ;z_{ G } } \right ) $, vì $ G $ là trọng tâm của tam giác $ ABC $ nên $\overset\rightarrow{CD}=\overset\rightarrow{AB} \Leftrightarrow \begin{cases} -x_D = 1 \\ -4-y_D = 1 \\ -z_D = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_D = -1 \\ y_D = -5 \\ z_D = -1 \end{cases}$. Vậy tọa độ của điểm $D(-1;-5;-1)$. b) Đúng. Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $x_G=\frac{1+2+0}{3}=1$, $y_G=\frac{0+1+(-4)}{3}=-1$, $z_G=\frac{1+2+0}{3}=1$. Vậy tọa độ trọng tâm $G(1;-1;1)$. c) Sai. Ta có $|\overset\rightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$, $|\overset\rightarrow{AC}|=\sqrt{(-1)^2+(-4)^2+(-1)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, $\overset\rightarrow{BC}=(-2;-5;-2)\Rightarrow |\overset\rightarrow{BC}|=\sqrt{4+25+4}=\sqrt{33}$. Chu vi tam giác $ABC$ là $\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{33}$, khác với $2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{33}$. d) Sai. Ta có $\overset\rightarrow{AB} \cdot \overset\rightarrow{AC} = 1\cdot(-1)+1\cdot(-4)+1\cdot(-1) = -6 < 0$ nên $\cos\widehat{BAC} < 0$.