Cho khai triển $(1 + 2x)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n$ thỏa mãn $a_0 + 8a_1 = 2a_2 + 1$. Tìm giá trị của số nguyên dương $n$.

Ta có: $(1 + 2x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k 2^k x^k$ với $k \in \mathbb{N}$. Suy ra $a_k = 2^k C_n^k$. Thay $a_0 = 2^0 C_n^0 = 1$, $a_1 = 2C_n^1$, $a_2 = 4C_n^2$ vào giả thiết ta có: $\begin{aligned} &1 + 16C_n^1 = 8C_n^2 + 1 \\ \Leftrightarrow &2C_n^1 = C_n^2 \\ \Leftrightarrow &2 \cdot \frac{n!}{(n-1)!} = \frac{n!}{(n-2)!2!} \\ \Leftrightarrow &2n = \frac{n(n-1)}{2} \\ \Leftrightarrow &n^2 - 5n = 0 \\ \Leftrightarrow &\left[ \begin{aligned} &n = 0 \\ &n = 5 \end{aligned} \right. \end{aligned}$ Do $n$ là số nguyên dương nên $n = 5$.