Một cửa hàng bán hoa có hai loại hoa chính: hoa hồng và hoa cúc. Khách hàng có thể chọn mua bất kỳ số lượng hoa hồng hoặc hoa cúc (từ 0 đến 5 bông cho mỗi loại) để tạo thành một bó hoa. Cửa hàng muốn biết có bao nhiêu cách khác nhau để tạo bó hoa với tổng số bông là 5 (bao gồm hoa hồng và hoa cúc). Xét khai triển $ \left ( { x+y } \right ) ^ { 5 } $, với $ x $ là số hoa hồng và $ y $ là số hoa cúc.

a) Đúng. Theo nhị thức Newton, ta có $ \left ( { x+y } \right ) ^ { 5 } =x ^ { 5 } +5x ^ { 4 } y+10x ^ { 3 } y ^ { 2 } +10x ^ { 2 } y ^ { 3 } +5xy ^ { 4 } +y ^ { 5 } $. Các hệ số lần lượt là $ 1,{ \rm{ } }5,{ \rm{ } }10,{ \rm{ } }10,{ \rm{ } }5,{ \rm{ } }1 $ nghĩa là có các cách sau để tạo bó hoa với tổng 5 bông: 5 bông hoa hồng, 0 bông hoa cúc: 1 cách. 4 bông hoa hồng, 1 bông hoa cúc: 5 cách. 3 bông hoa hồng, 2 bông hoa cúc: 10 cách. 2 bông hoa hồng, 3 bông hoa cúc: 10 cách. 1 bông hoa hồng, 4 bông hoa cúc: 5 cách. 0 bông hoa hồng, 5 bông hoa cúc: 1 cách. Vậy tổng số cách tạo bó hoa với 5 bông là $ 1+5+10+10+5+1=32 $ cách. b) Đúng. Để bó hoa có chính xác 3 bông hoa hồng, ta cần chọn 2 bông hoa cúc. Theo khai triển trên, hệ số của hạng tử $ x ^ { 3 } y ^ { 2 } $ là 10. Vậy, số cách tạo bó hoa với chính xác 3 bông hoa hồng và 2 bông hoa cúc là 10 cách. c) Sai. Để số lượng hoa hồng là số lẻ thì số bông hoa hồng có thể là 1, 3 hoặc 5. Tương ứng, các hệ số của hạng tử $ x ^ { 1 } y ^ { 4 } ,{ \rm{ } }x ^ { 3 } y ^ { 2 } ,{ \rm{ } }x ^ { 5 } $ trong khai triển $ \left ( { x+y } \right ) ^ { 5 } $ lần lượt là $ 5,{ \rm{ } }10,{ \rm{ } }1 $. Vậy tổng số cách là 16. d) Đúng. Để số bông hoa cúc nhiều hơn số bông hoa hồng, các trường hợp có thể xảy ra là: 0 bông hoa hồng và 5 bông hoa cúc, tương ứng hệ số của hạng tử $ y ^ { 5 } $ là 1. 1 bông hoa hồng và 4 bông hoa cúc, tương ứng hệ số của hạng tử $ xy ^ { 4 } $ là 5. 2 bông hoa hồng và 3 bông hoa cúc, tương ứng hệ số của hạng tử $ x ^ { 2 } y ^ { 3 } $ là 10. Vậy tổng số cách là 16.