Số dân ở thời điểm hiện tại của một thành phố là $ 1 $ triệu người. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của tỉnh đó là $ 5\% $. Sử dụng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa $ \left ( { a+b } \right ) ^ { n } $ để ước lượng sau bao nhiêu năm thì số dân của tỉnh đó là $ 1,2 $ triệu người?

Gọi $ A $ là số dân ban đầu, $ r $ là tỉ lệ tăng dân số hàng năm, $ A_{ n } $ là số dân của tỉnh đó sau $ n $ năm. Khi đó: $ A_{ n } =A\left ( { 1+r } \right ) ^ { n } $. Theo giả thiết: $ 1,2=\left ( { 1+\frac { 5 } { 100 } } \right ) ^ { n } ⇔1,2=\left[ C_{ n } ^{ 0 }+C_{ n } ^{ 1 }.\left ( { \frac { 5 } { 100 } } \right )+C_{ n } ^{ 2 }.\left ( { \frac { 5 } { 100 } } \right ) ^ { 2 } +...+C_{ n } ^{ n-1 }.\left ( { \frac { 5 } { 100 } } \right ) ^ { n-1 } +C_{ n } ^{ n }\left ( { \frac { 5 } { 100 } } \right ) ^ { n } \right] $ $ ⇔1,2≈C_{ n } ^{ 0 }+C_{ n } ^{ 1 }.\frac { 5 } { 100 }⇔1,2≈1+0,05n⇔n≈4 $ (năm) Vậy sau khoảng 4 năm thì số dân của tỉnh đó là $ 1,2 $ triệu người.