(Sở Hà Nội 2025) Một cửa vòm có dạng hình parabol được lắp các tấm kính hình tròn đường kính và các tấm kính hình vuông có cạnh như hình vẽ. Phần còn lại của cửa được sơn màu trang trí với mức giá 1,2 triệu đồng. Chi phí sơn màu là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Lời giải Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ. Gọi phương trình parabol có dạng $y = ax^{2} + bx + c$. Do Parabol qua các điểm $(0;4)$, $(2;2)$ và $(-2;2)$ nên ta có hệ phương trình: $$ \begin{cases} 4a + 2b + c = 2 \\ 4a - 2b + c = 2 \\ c = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = -\frac{1}{2} \\ b = 0 \\ c = 4 \end{cases} $$ Suy ra $y = -\frac{1}{2}x^{2} + 4$. Parabol cắt trục hoành tại hai điểm $A, B$ có hoành độ là nghiệm của phương trình $-\frac{1}{2}x^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt{2}$. Diện tích vòm cửa là: $$ S_{vòm} = \int_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}} \Big(-\frac{1}{2}x^{2} + 4\Big) dx = \frac{32\sqrt{2}}{3} $$ Diện tích các tấm kính bằng: $6 + 3\pi \cdot \Big(\frac{1}{2}\Big)^{2}$. Suy ra diện tích phần còn lại là: $S = \frac{32\sqrt{2}}{3} - 6 - \frac{3\pi}{4}$. Giá tiền sơn là $S \cdot 1,2 \approx 8,1$ triệu.