(Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ 2025) Để trang trí một bảng gỗ hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB = 8\,dm$ và chiều rộng $AD = 6\,dm$, người ta thiết kế một logo là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính $MN = 6\,dm$, tiếp xúc với $BC$, hai đường cong $IM, IN$ là một phần của các đường parabol có trục đối xứng lần lượt là $AB, CD$ với $I$ là trung điểm của $AD$ (tham khảo hình vẽ). Phần logo được sơn màu xanh với chi phí 50000 đồng/$dm^{2}$ và phần còn lại của bảng gỗ được sơn màu trắng với chi phí 30000 đồng/$dm^{2}$. Hỏi cần bỏ ra bao nhiêu nghìn đồng để trang trí bảng gỗ trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Lời giải Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ bằng $6 \cdot 8 = 48 \text{ (dm}^{2}\text{)}$. Diện tích của nửa đường tròn đường kính $MN$ bằng: $$ S = \frac{1}{2}\pi R^{2} = \frac{1}{2}\pi \cdot 3^{2} = \frac{9}{2}\pi \text{ (dm}^{2}\text{)} $$ Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ, gọi phương trình parabol có đỉnh $N$ là $y = ax^{2} + bx + c$. Giải hệ phương trình ta được $y = \frac{5}{9}x^{2} - \frac{10}{3}x + 5$. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành là 5 $dm^{2}$. Do tính đối xứng nên tổng diện tích phần màu xanh là $\frac{9}{2}\pi + 10 \text{ (dm}^{2}\text{)}$. Diện tích phần màu trắng là $48 - (\frac{9}{2}\pi + 10) = 38 - \frac{9}{2}\pi \text{ (dm}^{2}\text{)}$. Chi phí cần bỏ ra là: $$ (\frac{9}{2}\pi + 10) \cdot 50 + (38 - \frac{9}{2}\pi) \cdot 30 \approx 1923 \text{ (nghìn đồng)} $$