Trả lời ngắn · Câu 34
(Sở Phú Thọ 2025) Một bức tường hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước lần lượt là $6m$ và $4m$ được bạn Minh trang trí bằng cách vẽ hai đồ thị hàm số $f(x) = a^{x} \, (0 < a \neq 1)$ và $g(x) = \log_{b} x \, (0 < b \neq 1)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$. Bức tường được chia làm 3 phần (tham khảo hình vẽ). Phần $H_{1}$ được sơn màu xanh da trời, phần $H_{2}$ sơn màu vàng và phần $H_{3}$ được sơn màu xanh lá cây. Bạn Minh cần mua các hộp sơn mà mỗi hộp chỉ sơn được một màu tương ứng với các màu mà bạn Minh định sơn. Biết rằng mỗi hộp sơn chỉ sơn được tối đa $3m^{2}$ tường, giá một hộp sơn màu xanh da trời là 120000 đồng, giá một hộp sơn màu xanh lá cây là 140000 đồng, giá một hộp sơn màu vàng là 160000 đồng. Cửa hàng chỉ bán số các hộp sơn là các số nguyên dương. Bạn Minh cần bao nhiêu triệu đồng để sơn bức tường đó?
Xem đáp án và lời giải
Đáp án chấp nhận
- 1,3
Lời giải
Lời giải
Đồ thị hàm số đối xứng nhau qua $y=x$ nên $a=b$. Đồ thị hàm số đi qua $B(3;2)$ nên $b = \sqrt{3}$.
Hai hàm số là $f(x) = \sqrt{3}^{x}$ và $g(x) = \log_{\sqrt{3}} x$.
Tính diện tích các phần $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ bằng tích phân:
$$
S_{H_{1}} = \int_{1}^{3} (\sqrt{3}^{x} - \log_{\sqrt{3}} x) dx \approx 5,23 \text{ (m}^{2}\text{)}
$$
$$
S_{H_{3}} = \int_{1/3}^{1} (\sqrt{3}^{x} - \log_{\sqrt{3}} x) dx \approx 7,15 \text{ (m}^{2}\text{)}
$$
$S_{H_{2}} = 6 \cdot 4 - S_{H_{1}} - S_{H_{3}} \approx 11,62 \text{ (m}^{2}\text{)}$.
Số hộp sơn cần mua:
- $H_{1}$: 2 hộp ($2 \cdot 0,12 = 0,24$ triệu).
- $H_{3}$: 3 hộp ($3 \cdot 0,14 = 0,42$ triệu).
- $H_{2}$: 4 hộp ($4 \cdot 0,16 = 0,64$ triệu).
Tổng chi phí: $0,24 + 0,42 + 0,64 = 1,3$ (triệu đồng).