Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình vuông $ ABCD $ có độ dài đường chéo $ AC=45\,{ \rm{ m } } $. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với các đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình vuông, khoảng cách từ đỉnh đó đến đỉnh tương ứng của hình vuông bằng $ 15\,{ \rm{ m } } $. Bản thiết kế khu sinh hoạt nhận tâm hình vuông $ ABCD $ làm tâm đối xứng và trên hình bên ta có $ AM=MN=NB $. Để trang trí cho phần sân chơi tốn $ 500 $ nghìn đồng /$ 1\,{ \rm{ m } } ^ { 2 } $, để trồng hoa tốn $ 200 $ nghìn đồng /$ 1\,{ \rm{ m } } ^ { 2 } $. Tổng số tiền cần dùng là bao nhiêu triệu đồng? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Gắn hệ tọa độ $ Oxy $ như hình vẽ: $ A\left ( { 0\,;\,\frac { 45 } { 2 } } \right ),\,B\left ( { \frac { 45 } { 2 }\,;\,0 } \right ),\,C\left ( { 0\,;\,-\frac { 45 } { 2 } } \right ),\,D\left ( { -\frac { 45 } { 2 }\,;\,0 } \right ) $. Do hình vuông $ ABCD $ có $ AC=45\,{ \rm{ m } } $nên độ dài cạnh hình vuông là: $ AB=\frac { AC } { \sqrt[] { 2 } }=\frac { 45 } { \sqrt[] { 2 } }\,\,{ \rm{ m } } $. Diện tích hình vuông $ ABCD $ là: $ S_{ ABCD } =AB ^ { 2 } =\frac { 45 ^ { 2 } } { 2 }=1012,5\,\,{ \rm{ m } } ^ { 2 } $. Vì $ AM=MN=NB $ nên $ AM=MN=NB=\frac { AB } { 3 }=\frac { 15\sqrt[] { 2 } } { 2 }\,\,{ \rm{ m } } $. Độ dài cạnh $ AH=AM.\cos45 ^ { 0 } =\frac { 15 } { 2 } $, $ OH=OA-AH=\frac { 45 } { 2 }-\frac { 15 } { 2 }=15 $; $ HM=AM.\sin45 ^ { 0 } =\frac { 15 } { 2 } $. Vậy tọa độ của điểm $ M=\left ( { \frac { 15 } { 2 }\,;\,15 } \right ) $. Parabol đi qua điểm $ M $ và có đỉnh là điểm $ E\left ( { 0\,;\,\,\frac { 15 } { 2 } } \right ) $ có phương trình dạng: $ \left ( { P } \right ):y=ax ^ { 2 } +\frac { 15 } { 2 } $ (1) Thay tọa độ điểm $ M\left ( { \frac { 15 } { 2 }\,;\,15 } \right ) $ vào (1) ta được: $ 15=a.\left ( { \frac { 15 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\frac { 15 } { 2 }⇔a=\frac { 2 } { 15 } $. Vậy phương trình parabol$ \left ( { P } \right ):y=\frac { 2 } { 15 }x ^ { 2 } +\frac { 15 } { 2 } $. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $ \left ( { P } \right ) $, đường thẳng $ y=15 $, trục $ Oy $ và đường thẳng $ x=\frac { 15 } { 2 } $ là: . Diện tích tam giác $ ΔAHM $ là: $ S_{ 2 } =S_{ AHM } =\frac { 1 } { 2 }.AH.HM=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 15 } { 2 }.\frac { 15 } { 2 }=28,125\,{ \rm{ m } } ^ { 2 } $. Diện tích trồng hoa là: $ S_{ HOA } =8.\left ( { S_{ 1 } +S_{ 2 } } \right )=8.\left ( { 37,5+28,125 } \right )=525\,\,{ \rm{ m } } ^ { 2 } $ Diện tích sân chơi là: $ S_{ SAN } =S_{ ABCD } -S_{ HOA } =1012,5-525=487,5\,\,{ \rm{ m } } ^ { 2 } $. Tổng số tiền cần dùng là: $ 487,5.500000+525.200000=348750000 $đ Vậy số tiền cần dùng để trang trí sân và trồng hoa là $ 349 $triệu đồng.