(Chuyên Lê Khiết - Quảng Ngãi 2025) Có một cái chòi hình “chóp cong”, trong đó mái chòi $ (H) $ có dạng hình “chóp lục giác cong đều” như hình vẽ bên dưới. Đáy của $ (H) $ là một hình lục giác đều tâm $ O, $ đường chéo qua tâm $ O $ có độ dài là $ 10{ \rm{ m } }, $ chiều cao $ SO=10{ \rm{ m ( } }SO $ vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của $ (H) $ là các sợi dây thép $ c_{ 1 } ;c_{ 2 } ;c_{ 3 } ;c_{ 4 } ;c_{ 5 } ;c_{ 6 } $ nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với $ SO. $ Giả sử hình tạo bởi các đoạn giao tuyến của $ (H) $ với mặt phẳng $ (\alpha ) $ vuông góc với $ SO $ là một lục giác đều. Biết rằng khi mặt phẳng $ (\alpha ) $ đi qua trung điểm của $ SO $ thì lục giác đều có cạnh $ l=2{ \rm{ m } }. $

a
Diện tích hình lục giác đều nói trên khi $ (\alpha ) $ đi qua trung điểm của $ SO $ là $ 6\sqrt[] { 3 }{ \rm{ m } } ^ { 2 } . $
b
Chọn hệ trục tọa độ $ Oxy $ sao cho gốc tọa độ là điểm $ O $ trên hình vẽ, $ S $ thuộc tia $ Oy, $ đỉnh $ A $ của lục giac đều thuộc tia $ Ox $ thì $ c_{ 4 } $ nằm trên đường parabol có phương trình $ y=\frac { 1 } { 6 }x ^ { 2 } -\frac { 17 } { 6 }x+10 $.
c
Nếu $ (\alpha ) $ cắt $ SO $ và $ c_{ 4 } $ lần lượt tại $ M $ và $ B, $ mà $ OM=t $ thì độ dài đoạn $ BM $ là $ \frac { 17 } { 2 }-\sqrt[] { t+\frac { 49 } { 4 } }. $
d
Thể tích phần không gian nằm bên trong mái chòi $ (H) $ là $ 171,4{ \rm{ m } } ^ { 3 } . $

Đáp án và lời giải chỉ hiển thị trong quá trình học.