Đúng/Sai · Câu 34
(Chuyên Lê Khiết - Quảng Ngãi 2025) Có một cái chòi hình “chóp cong”, trong đó mái chòi $ (H) $ có dạng hình “chóp lục giác cong đều” như hình vẽ bên dưới. Đáy của $ (H) $ là một hình lục giác đều tâm $ O, $ đường chéo qua tâm $ O $ có độ dài là $ 10{ \rm{ m } }, $ chiều cao $ SO=10{ \rm{ m ( } }SO $ vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của $ (H) $ là các sợi dây thép $ c_{ 1 } ;c_{ 2 } ;c_{ 3 } ;c_{ 4 } ;c_{ 5 } ;c_{ 6 } $ nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với $ SO. $ Giả sử hình tạo bởi các đoạn giao tuyến của $ (H) $ với mặt phẳng $ (\alpha ) $ vuông góc với $ SO $ là một lục giác đều. Biết rằng khi mặt phẳng $ (\alpha ) $ đi qua trung điểm của $ SO $ thì lục giác đều có cạnh $ l=2{ \rm{ m } }. $
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Đúng
- c. Sai
- d. Đúng
Lời giải
a) Đúng. Cạnh của lục giác đều bằng nửa đường chéo nên diện tích thiết diện cắt bởi $ (\alpha ) $ là:
$ S=6.\frac { l ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }=6.\frac { 2 ^ { 2 } .\sqrt[] { 3 } } { 4 }=6\sqrt[] { 3 }{ \rm{ m } } ^ { 2 } . $
b) Đúng. $ c_{ 4 } :y=ax ^ { 2 } +bx+c $ đi qua $ A(5;0),S(0;10),N(2;5) $ (cạnh lục giác đều bằng khoảng cách từ đỉnh đến tâm của lục giác đó nên $ N(2;5) $). Giải hệ phương trình ba ẩn $ a,b,c $ ta được $ c_{ 4 } :y=\frac { 1 } { 6 }x ^ { 2 } -\frac { 17 } { 6 }x+10 $.
c) Sai. Đường thẳng $ y=t\,(0\leq t\leq 10) $ cắt $ Oy,\,\,c_{ 4 } $ lần lượt tại $ M,B $. Khi đó độ dài đoạn $ MB=x_{ B } < 5. $
Xét phương trình
$ t=\frac { 1 } { 6 }x ^ { 2 } -\frac { 17 } { 6 }x+10⇔x ^ { 2 } -17x+60-6t=0⇔x=\frac { 17±\sqrt[] { 24t+49 } } { 2 } \ ⇒MB=\frac { 17-\sqrt[] { 24t+49 } } { 2 }=\frac { 17 } { 2 }-\sqrt[] { 6t+\frac { 49 } { 4 } }. $
d) Đúng. Diện tích thiết diện cắt $ SO $ tại $ M $ là: $ S(t)=6.\frac { MB ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }\left ( { \frac { 17 } { 2 }-\sqrt[] { 6t+\frac { 49 } { 4 } } } \right ) ^ { 2 } $
Thể tích khối chóp lục giác cong đều là:
$ V=\int _{ 0 }^{ 10 } { S(t){ \rm{ d } }t }=\int _{ 0 }^{ 10 } { \frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }\left ( { \frac { 17 } { 2 }-\sqrt[] { 6t+\frac { 49 } { 4 } } } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }t }=\int _{ 0 }^{ 10 } { \frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }\left ( { \frac { 169 } { 2 }+6t-17\sqrt[] { 6t+\frac { 49 } { 4 } } } \right ){ \rm{ d } }t } $
$ =\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }\left[ \frac { 169 } { 2 }t+3t ^ { 2 } -\frac { 17 } { 9 }\left ( { \sqrt[] { 6t+\frac { 49 } { 4 } } } \right ) ^ { 3 } \right]_{ 0 } ^{ 10 }=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }.\frac { 2375 } { 36 }=\frac { 2375\sqrt[] { 3 } } { 24 }≈171,4. $