Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng $ 108 cm ^ { 2 } $ như Hình. Biết khi $ x=x_{ 0 } ;h=h_{ 0 } $ thì thể tích của hộp là lớn nhất. Khi đó $ x_{ 0 } +h_{ 0 } $ bằng?

Hình hộp trên có độ dài cạnh đáy là $ x\,(cm,x>0) $ và chiều cao là $ h\,(cm,h>0) $ Diện tích bề mặt của hình hộp là $ 108 cm ^ { 2 } $ nên $ x ^ { 2 } +4xh=108⇒h=\frac { 108-x ^ { 2 } } { 4x }( cm) $ Thể tích của hình hộp là: $ V=x ^ { 2 } .h=x ^ { 2 } ⋅\frac { 108-x ^ { 2 } } { 4x }=\frac { 108x-x ^ { 3 } } { 4 }\left ( {  cm ^ { 3 } } \right ) $ Ta có: $ V ^ { ′ } =\frac { -3x ^ { 2 } +108 } { 4 },V ^ { ′ } =0⇔x=6 $ (do $ x>0 $) Bảng biến thiên: Do đó, thể tích của hình hộp là lớn nhất khi độ dài cạnh đáy $ x=6 cm $ Khi đó, chiều cao của hình hộp là: $ \frac { 108-6 ^ { 2 } } { 4.6 }=3( cm) $. Vậy $ x_{ 0 } =6;h_{ 0 } =3 $ nên $ x_{ 0 } +h_{ 0 } =6+3=9 $.