Một người trên cầu tàu kéo một chiếc thuyền về phía mình bằng cách kéo một sợi dây với tốc độ không đổi là 20 mét một phút. Sợi dây được gắn vào thuyền cách mặt nước 1 m và tay của người đàn ông cách mặt nước 6 m. Thuyền đang tiến đến cầu tàu với tốc độ bao nhiêu mét/phút tại thời điểm cách cầu tàu 15 m? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Ta kí hiệu độ dài các đoạn như hình vẽ trên. Gọi $ L(t) $ và $ x(t) $ lần lượt là hàm biểu diễn độ dài đoạn tương ứng trong hình tại thời điểm $ t $ phút $ (L(t),x(t)>0) $. Khi đó, các hàm $ L ^ { ′ } (t),x ^ { ′ } (t) $ là vận tốc chuyển động tương ứng. (ứng dụng của đạo hàm). Yêu cầu bài toán: Tính $ x ^ { ′ } \left ( { t_{ 0 } } \right ) $. Với $ x\left ( { t_{ 0 } } \right )=15 $. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có $ 5 ^ { 2 } +x ^ { 2 } (t)=L ^ { 2 } (t)(*) $ Thay $ t=t_{ 0 } $ vào phương trình $ (*) $ ta được $ 5 ^ { 2 } +x ^ { 2 } \left ( { t_{ 0 } } \right )=L ^ { 2 } \left ( { t_{ 0 } } \right )⇔5 ^ { 2 } +15 ^ { 2 } =L ^ { 2 } \left ( { t_{ 0 } } \right )⇔L ^ { 2 } \left ( { t_{ 0 } } \right )=250⇔L\left ( { t_{ 0 } } \right )=\sqrt[] { 250 } $ Vì người đó kéo chiếc thuyền về phía mình với tốc độ không đổi là $ 20 m/ $phút, nên ta có $ L ^ { ′ } (t)=20 $ suy ra $ L ^ { ′ } \left ( { t_{ 0 } } \right )=20 $. Đạo hàm hai vế phương trình (*) theo biến $ t $ ta được $ 2x(t)x ^ { ′ } (t)=2L(t)L ^ { ′ } (t) $ Thay $ t=t_{ 0 } $ vào phương trình trên, ta được $ 2 \cdot 15 \cdot x ^ { \prime } \left( { t_{ 0 } } \right) = 2 \cdot \sqrt[] { 250 } \cdot 20 \Rightarrow x ^ { \prime } \left( { t_{ 0 } } \right) \approx 21,1 $ Vậy thuyền đang tiến đến cầu tàu với tốc độ 21,1 mét/phút.