Một bể nước có dạng hình nón ngược với bán kính đáy bằng 2 m và chiều cao bằng 4 m (tham khảo hình vẽ). Nước được bơm vào bể với tốc độ không đổi là $ 2 m ^ { 3 } / $ phút. Hỏi tốc độ dâng lên của mực nước (đơn vị m/phút) bằng bao nhiêu khi mực nước trong bể đạt độ sâu bằng 3 m (làm tròn kết quả dến chữ số hàng phằn trăm)?

Gợi ý: Tốc độ bơm nước (tốc độ thay đổi thể tích) là đạo hàm của hàm thể tích. Tốc độ dâng lên của mực nước là đạo hàm của hàm chiều cao. Khi đó, yêu cầu bài toán là tính tốc độ dâng lên $ h ^ { ′ } (t) $ khi $ h(t)=3 $. Ta kí hiệu các điểm như hình vẽ sau. Vì mặt nước luôn song song với mặt đáy của bể nước, nên $ MN//AB $. Khi đó, áp dụng định lý Thalès, trong tam giác $ ABC $, ta có $ \frac { h } { 4 }=\frac { r } { 2 }⇒r=\frac { h } { 2 } $. Áp dụng công thức tính thể tích của hình nón, ta suy ra thể tích của bể nước là $ V(t)=\frac { 1 } { 3 }⋅πr ^ { 2 } (t)⋅h(t)\left ( { m ^ { 3 } } \right ) $. Thay $ r=\frac { h } { 2 } $ vào phương trình thể tích, ta có $ V(t)=\frac { 1 } { 3 }⋅π\left ( { \frac { h(t) } { 2 } } \right ) ^ { 2 } ⋅h(t)=\frac { 1 } { 3 }⋅π⋅\frac { h ^ { 2 } (t) } { 4 }⋅h(t)=\frac { π } { 12 }⋅h ^ { 3 } (t) $ Từ giả thiết, nước được bơm vào bể với tốc độ không đổi là $ 2 m ^ { 3 } / $phút nên ta có $ V ^ { ′ } (t)=2⇔\left ( { \frac { π } { 12 }⋅h ^ { 3 } (t) } \right ) ^ { ′ } =2⇔\frac { π } { 12 }⋅3⋅h ^ { ′ } (t)⋅h ^ { 2 } (t)=2 ⇔\frac { π } { 4 }h ^ { ′ } (t)⋅h ^ { 2 } (t)=2 $ Thay $ h(t)=3 $ vào phương trình trên, ta được $ \frac { π } { 4 }h ^ { ′ } (t)⋅3 ^ { 2 } =2⇔h ^ { ′ } (t)=\frac { 2 } { 9 }:\frac { π } { 4 }≈0,28 $ (m/phút).