Cho $ \lim\left ( { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } -n+3 }-2n+3 } \right )=\frac { a } { b } $ trong đó $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản, $ a $ và $ b $ nguyên. Tính $ a+2b $.

Ta có: $ \lim\left ( { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } -n+3 }-2n+3 } \right ) $ $ =\lim\frac { \left ( { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } -n+3 }-\left ( { 2n-3 } \right ) } \right ).\left ( { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } -n+3 }+2n-3 } \right ) } { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } -n+3 }+2n-3 } =\lim\frac { \left ( { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } -n+3 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { 2n-3 } \right ) ^ { 2 } } { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } -n+3 }+2n-3 } $ $ =\lim\frac { 4n ^ { 2 } -n+3-\left ( { 4n ^ { 2 } -12n+9 } \right ) } { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } -n+3 }+2n-3 } $ $ =\lim\frac { 11n-6 } { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } -n+3 }+2n-3 } =\lim\frac { 11-\frac { 6 } { n } } { \sqrt[] { 4-\frac { 1 } { n ^ { } }+\frac { 3 } { n ^ { 2 } } }+2-\frac { 3 } { n } } $ $ =\frac { \lim\left ( { 11-\frac { 6 } { n } } \right ) } { \lim\left ( { \sqrt[] { 4-\frac { 1 } { n ^ { } }+\frac { 3 } { n ^ { 2 } } }+2-\frac { 3 } { n } } \right ) } $ $ =\frac { lim11-lim\left ( { \frac { 6 } { n } } \right ) } { \sqrt[] { lim4-lim\left ( { \frac { 1 } { n } } \right )+lim\left ( { \frac { 3 } { n ^ { 2 } } } \right ) }+lim2-lim\left ( { \frac { 3 } { n } } \right ) } $ $ =\frac { 11-0 } { \sqrt[] { 4-0+0 }+2-0 }=\frac { 11 } { 4 } $. Suy ra $ a=11;\,b=4 $ do đó $ a+2b=11+2.4=19 $.