Cho hình chóp $ S.ABCD $ đáy là hình vuông tâm $ O $, cạnh $ \sqrt[] { 2 } $. Trên cạnh $ SB,SD $ lần lượt lấy điểm $ M,N $sao cho $ SM=2MB $ và $ SN=\frac { 1 } { 3 }SD $. Hình chiếu của $ M,N $ qua phép chiếu song song lên mặt phẳng chiếu $ \left ( { ABCD } \right ) $ theo phương của đường thẳng $ SO $ lần lượt là $ P,Q $. Tính diện tích $ ΔAPQ $.

+ Do $ P $ là hình chiếu song song của $ M $ qua phép chiếu theo phương của đường thẳng $ SO $ ⇒ $ \frac { BM } { BS }=\frac { BP } { BO } $ + Mà $ SM=2MB $ nên: $ \frac { OP } { OB }=\frac { 2 } { 3 } $. $ \left ( { 1 } \right ) $ + Chứng minh tương tự ta có: $ \frac { OQ } { OD }=\frac { 1 } { 3 } $ (2) Do $ ABCD $là hình hình vuông tâm $ O $ cạnh $ \sqrt[] { 2 } $, nên $ BO=DO=\frac { BD } { 2 }=1 $(3) + Từ (1); (2); (3) suy ra $ PQ=PO+OQ=1 $. + Do đó $ S_{ \vartriangle APQ } =\frac { 1 } { 2 }PQ.AO=\frac { 1 } { 2 }1.1=\frac { 1 } { 2 }=0,5 $.