(Sở Phú Yên 2025) Một loại linh kiện do hai nhà máy I, II cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của nhà máy I, II lần lượt là: $ 0,05 $; $ 0,04 $. Trong một lô linh kiện để lẫn lộn $ 100 $ sản phẩm của nhà máy I và $ 150 $ sản phẩm của nhà máy II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện của lô hàng đó. Giả sử linh kiện được chọn là phế phẩm. Tính xác suất linh kiện này thuộc nhà máy I (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm).

Gọi $ A $ là biến cố “Linh kiện được chọn thuộc nhà máy I”; $ B $ là biến cố “Linh kiện được chọn là phế phẩm”; Có tổng cộng $ 100+150=250 $ linh kiện, trong dó có $ 100 $ sản phẩm của nhà máy I và $ 150 $ sản phẩm của nhà máy II nên $ P\left ( { A } \right )=\frac { 100 } { 250 }=0,4 $; $ P\left ( { \bar A } \right )=1-P\left ( { A } \right )=1-0,4=0,6 $. Theo bài ra thì $ P\left ( { B\|A } \right )=0,05 $ và $ P\left ( { B\| \bar A } \right )=0,04 $ nên ta có sơ đồ sau: Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có $ P\left ( { B } \right )=P\left ( { A } \right ).P\left ( { B\|A } \right )+P\left ( { \bar A } \right ).P\left ( { B\| \bar A } \right )=0,4.0,05+0,6.0,04=0,044 $. Áp dụng công thức Bayes ta có $ P\left ( { A\|B } \right )=\frac { P\left ( { A } \right ).P\left ( { B\|A } \right ) } { P\left ( { B } \right ) }=\frac { 0,4.0,05 } { 0,044 }=\frac { 5 } { 11 }≈0,45 $. Vậy xác suất để linh kiện thuộc nhà máy I, biết linh kiện là phế phẩm xấp xỉ bằng $ 0,45 $.