(Sở Khánh Hòa 2025) Hộp thứ nhất có $ 4 $ viên bi xanh và $ 1 $ viên bi đỏ. Hộp thứ hai có $ 3 $ viên bi xanh và $ 6 $ viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời $ 2 $ viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ngẫu nhiên đồng thời $ 2 $ viên bi từ hộp thứ hai. Biết rằng $ 2 $ viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai đều là bi xanh. Tính xác suất để $ 2 $ viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu khác nhau (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Gọi $ A $ là biến cố: “ $ 2 $ viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh”. Xác suất của biến cố $ A $ là: $ P\left ( { A } \right )=\frac { C_{ 4 } ^{ 2 } } { C_{ 5 } ^{ 2 } }=\frac { 3 } { 5 }. $ Gọi $ B $ là biến cố: “ $ 2 $ viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có $ 1 $ bi màu xanh, $ 1 $ bi màu đỏ”. Xác suất của biến cố $ B $ là: $ P\left ( { B } \right )=\frac { C_{ 4 } ^{ 1 }.C_{ 1 } ^{ 1 } } { C_{ 5 } ^{ 2 } }=\frac { 2 } { 5 }. $ Gọi $ C $ là biến cố: “ $ 2 $ viên bi lấy ra từ hộp thứ hai đều là bi màu xanh”. - Trường hợp 1: Nếu lấy $ 2 $ bi xanh từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, thì hộp hai có $ 5 $ viên bi xanh và $ 6 $ viên bi đỏ. Xác suất để lấy $ 2 $ bi xanh từ hộp thứ hai là: $ P\left ( { C\|A } \right )=\frac { C_{ 5 } ^{ 2 } } { C_{ 11 } ^{ 2 } }=\frac { 2 } { 11 }. $ - Trường hợp 2: Nếu lấy $ 1 $ bi xanh và $ 1 $ bi đỏ từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, thì hộp hai có $ 4 $ viên bi xanh và $ 7 $ viên bi đỏ. Xác suất để lấy $ 2 $ bi xanh từ hộp thứ hai là: $ P\left ( { C\|B } \right )=\frac { C_{ 4 } ^{ 2 } } { C_{ 11 } ^{ 2 } }=\frac { 6 } { 55 }. $ Vậy xác suất để lấy $ 1 $ bi xanh và $ 1 $ bi đỏ từ hộp thứ nhất, biết rằng $ 2 $ viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai đều là bi xanh là: $ P\left ( { B\|C } \right )=\frac { P\left ( { C\|B } \right ).P\left ( { B } \right ) } { P\left ( { C\|A } \right ).P\left ( { A } \right )+P\left ( { C\|B } \right ).P\left ( { B } \right ) }=\frac { \frac { 6 } { 55 }.\frac { 2 } { 5 } } { \frac { 2 } { 11 }.\frac { 3 } { 5 }+\frac { 6 } { 55 }.\frac { 2 } { 5 } }=\frac { 2 } { 7 }≈0,29. $