Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh $ AB=a $ và $ SA=2a $. Tính tan của góc giữa đường thẳng $ SA $ và mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Hình chóp $ S.ABCD $ là hình chóp tứ giác đều. Gọi $ O $ là tâm của đáy. Khi đó ta có $ SO⊥\left ( { ABCD } \right ) $. Góc giữa $ SA $ và mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ là $ \widehat { SAO } $. Xét tam giác $ Δ\,SOA $: Do $ SO⊥\left ( { ABCD } \right )⇒SO⊥OA⇒\tan \widehat { SAO }=\frac { SO } { OA } $. Ta có $ ABCD $là hình vuông cạnh $ a $ nên $ AC=a\sqrt[] { 2 }⇒AO=\frac { 1 } { 2 }AC=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $. $ Δ\,SOA $ vuông tại O nên theo định lý pitago ta có: $ SA ^ { 2 } =SO ^ { 2 } +OA ^ { 2 } ⇒SO=\sqrt[] { SA ^ { 2 } -OA ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { 2a } \right ) ^ { 2 } -\left ( { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 14 } } { 2 } $. $ ⇒\tan \widehat { SAO }=\frac { SO } { OA }=\frac { \frac { a\sqrt[] { 14 } } { 2 } } { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } }=\sqrt[] { 7 }≈2,65 $.