Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh $x\,(\mathrm{cm})$, chiều cao $h\,(\mathrm{cm})$ và thể tích $4000\,\mathrm{cm}^3$. Tìm $x$ để chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.

Điều kiện $ x>0 $ Ta có thể tích của chiếc hộp là $ V=x ^ { 2 } .h $ Theo giả thiết thể tích chiếc hộp bằng $ 4000\,\mathrm{cm}^3 $ nên ta có $ x ^ { 2 } .h=4000⇔h=\frac { 4000 } { x ^ { 2 } } $ Ta có diện tích xung quanh và đáy của chiếc hộp là $ S=x ^ { 2 } +4xh=x ^ { 2 } +4x.\frac { 4000 } { x ^ { 2 } }=x ^ { 2 } +\frac { 16000 } { x } $ Ta khảo sát hàm số $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +\frac { 16000 } { x } $ Ta có $ f'\left ( { x } \right )=2x-\frac { 16000 } { x ^ { 2 } } $, $ f'\left ( { x } \right )=0⇔x=20 $ Ta có $ x=20\,(\mathrm{cm}) $ thì chiếc hộp làm ra tốn ít bìa nhất.