(Sở Sơn La 2025) Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 2 } -3x+3 } { x-1 } $.

a) Đúng. Điều kiện xác định: $ x-1\neq 0⇔x\neq 1 $. Vậy tập xác định của hàm số là $ D=\left ( { -\infty ;1 } \right )∪\left ( { 1;+\infty } \right ) $. b) Đúng. Ta có $ y'=\frac { x ^ { 2 } -2x } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } } $. $ y'=0⇔\frac { x ^ { 2 } -2x } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } }=0⇔x ^ { 2 } -2x=0⇔\left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=2 \end{array} \right. $. Bảng biến thiên: Theo bảng biến thiên trên, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $ \left ( { -\infty ;0 } \right ) $ và $ \left ( { 2;+\infty } \right ) $. Mà $ \left ( { 3;+\infty } \right )⊂\left ( { 2;+\infty } \right ) $. Do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $ \left ( { 3;+\infty } \right ) $. c) Sai. Ta có $ f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 2 } -3x+3 } { x-1 }=x-2+\frac { 1 } { x-1 } $. $ \lim\limits_{ x\to -\infty } \left[ f\left ( { x } \right )-\left ( { x-2 } \right ) \right]=\lim\limits_{ x\to -\infty } \frac { 1 } { x-1 }=0 $. d) Sai. Ta có $ x=0⇒f\left ( { 0 } \right )=-3 $ và $ x=2⇒f\left ( { 2 } \right )=1 $ nên đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $ A\left ( { 0;-3 } \right ) $ và $ B\left ( { 2;1 } \right ) $. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là $ AB=\sqrt[] { \left ( { 2-0 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 1-\left ( { -3 } \right ) } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 20 }=2\sqrt[] { 5 } $.