Biết rằng tốc độ đánh máy trung bình $S$ (tính bằng từ trên phút) của một học viên lớn tuổi sau $t$ tuần (kể từ khi chưa biết đánh máy) được cho bởi một trong hai công thức sau $S(t) = \frac{at^{2} + b}{ct^{2} + d}$ và $S(t) = \frac{at^{2} + b}{ct + d}$ $(a, b, c, d \in \mathbb{R}; ac \neq 0)$. Ông A (một người lớn tuổi chưa biết đánh máy) sau 4 tuần đi học thì tốc độ đánh máy trung bình đạt 20 từ trên phút, sau 6 tuần đạt 30 từ trên phút. Em hãy dự đoán xem, sau khóa học 15 tuần thì tốc độ đánh máy trung bình của ông A là bao nhiêu từ trên phút.

Lời giải - Do $\lim_{t \to +\infty} \frac{at^{2} + b}{ct + d} = \pm\infty$ nên tốc độ đánh máy sẽ tăng vô hạn theo thời gian, không hợp lý; do đó $S(t) = \frac{at^{2} + b}{ct + d}$ loại. - Ta có $S(0) = 0 \Leftrightarrow b = 0 \Rightarrow S(t) = \frac{at^{2}}{ct^{2} + d}$. - Mặt khác: $$ \left\{ \begin{array}{l} S(4) = 20 \\ S(6) = 30 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 16a = 20(16c + d) \\ 36a = 30(36c + d) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4a = 80c + 5d \\ 6a = 180c + 5d \end{array} \right. $$ Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên ta được $2a = 100c \Rightarrow a = 50c$. Thay vào phương trình đầu: $4(50c) = 80c + 5d \Rightarrow 120c = 5d \Rightarrow d = 24c$. Vậy $S(t) = \frac{50ct^{2}}{ct^{2} + 24c} = \frac{50t^{2}}{t^{2} + 24}$. Do đó $S(15) = \frac{50 \cdot 15^{2}}{15^{2} + 24} = \frac{11250}{249} \approx 45$.