Cho hệ bất phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} x+2y \le 10 \\ -2x+y \le 0 \\ -2x+y \ge -12 \\ y \ge -2 \end{array} \right. \quad (I) $. Biết tồn tại cặp $ (x; y) $ là nghiệm của hệ bất phương trình $ (I) $ sao cho biểu thức $ F = 3x + 4y + 2024 $ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó của $ F $.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $(I)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ bằng cách vẽ bốn đường thẳng: - $d_1: x + 2y = 10$ - $d_2: -2x + y = 0$ - $d_3: -2x + y = -12$ - $d_4: y = -2$ Sau khi loại bỏ các phần không thỏa mãn, ta xác định được miền nghiệm của hệ là miền tứ giác $ABCD$ (bao gồm cả các cạnh), với tọa độ các đỉnh lần lượt là: - $A(2; 4)$ - $B(\frac{34}{5}; \frac{8}{5})$ - $C(5; -2)$ - $D(-1; -2)$ Giá trị của biểu thức $F = 3x + 4y + 2024$ tại các đỉnh của miền nghiệm được tính như sau: - Tại $A(2; 4) \Rightarrow F = 3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 + 2024 = 2046$ - Tại $B(\frac{34}{5}; \frac{8}{5}) \Rightarrow F = 3 \cdot \frac{34}{5} + 4 \cdot \frac{8}{5} + 2024 = 2050,8$ - Tại $C(5; -2) \Rightarrow F = 3 \cdot 5 + 4 \cdot (-2) + 2024 = 2031$ - Tại $D(-1; -2) \Rightarrow F = 3 \cdot (-1) + 4 \cdot (-2) + 2024 = 2013$ So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F$ bằng $2013$, đạt được tại điểm $D(-1; -2)$.