Một công ty đá quý trong một tháng cần sản xuất ít nhất 12 viên kim cương to và 9 viên kim cương nhỏ. Từ 1 tấn cacbon loại I (giá 100 triệu đồng) có thể chiết xuất được 6 viên kim cương to và 3 viên kim cương nhỏ. Từ 1 tấn cacbon loại II (giá 40 triệu đồng) có thể chiết xuất được 2 viên kim cương to và 2 viên kim cương nhỏ. Mỗi viên kim cương to có giá 20 triệu đồng, mỗi viên kim cương nhỏ có giá 10 triệu đồng. Hỏi trong một tháng, công ty này thu về được nhiều nhất bao nhiêu tiền lãi (đơn vị triệu đồng)? Biết mỗi tháng chỉ có thể sử dụng tối đa 4 tấn cacbon mỗi loại.

Đặt $ x $ là số tấn cacbon loại I sử dụng trong một tháng, $ 0≤x≤4 $ $ y $ là số tấn cacbon loại II sử dụng trong một tháng, $ 0≤y≤4 $ Số viên kim cương to sản xuất được là $ 6x+2y $ Số viên kim cương nhỏ sản xuất được là $ 3x+2y $ Lợi nhuận trong một tháng: $ F(x,y)=20.(6x+2y)+10.(3x+2y)-(100x+40y)=50x+20y $ triệu đồng. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $ F(x,y) $ với $ x,y $ thỏa hệ bất phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} 0≤x≤4 \\ 0≤y≤4 \\ 6x+2y≥12 \\ 3x+2y≥9 \end{array} \right. $ Xét các đường thẳng: $ d_{ 1 } :x=0 $ là trục tung $ d_{ 2 } :x=4 $ là đường thẳng song song $ Oy $ và đi qua $ (4;0) $ $ d_{ 3 } :y=0 $ là trục hoành $ d_{ 4 } :y=4 $ là đường thẳng song song $ Ox $ và đi qua $ (0;4) $ $ d_{ 5 } :6x+2y=12 $ đi qua $ (0;6) $ và $ (2;0) $ $ d_{ 6 } :3x+2y=9 $ đi qua $ \left ( { 0;\frac { 9 } { 2 } } \right ) $ và $ (3;0) $. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền đa giác $ ABCDE $ (kể cả bờ) Tại điểm$ A\left ( { \frac { 2 } { 3 };4 } \right ) $, $ F=\frac { 340 } { 3 } $ Tại điểm $ B(4;4) $, $ F=280 $ Tại điểm $ C(4;0) $, $ F=200 $ Tại điểm $ D(3;0) $, $ F=150 $ Tại điểm $ E(1;3) $, $ F=110 $ Vậy mỗi tháng, công ty thu về được lãi nhiều nhất là 280 triệu đồng.