Một phân xưởng sản xuất hai loại sản phẩm. Thời gian để làm ra một sản phẩm loại I gấp hai lần thời gian làm ra một sản phẩm loại II. Nếu chỉ sản xuất toàn sản phẩm loại II thì trong 1 giờ phân xưởng làm được 60 sản phẩm. Phân xưởng làm việc 8 tiếng mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 sản phẩm loại I và 240 sản phẩm loại II. Tiền lãi khi bán một sản phẩm loại I là 24 nghìn đồng, một sản phẩm loại II là 15 nghìn đồng. Khi tiền lãi lớn nhất, tổng số sản phẩm loại I và loại II là bao nhiêu?

Gọi số sản phẩm loại I và loại II mà phân xưởng làm được trong một ngày lần lượt là $x$ và $y$ (sản phẩm), $x, y \in \mathbb{N}^*$. Thời gian làm một sản phẩm loại II là $\frac{1}{60}$ (giờ). Thời gian làm một sản phẩm loại I là $\frac{1}{30}$ (giờ). Tổng thời gian làm $x$ sản phẩm loại I và $y$ sản phẩm loại II là $\frac{x}{30}+\frac{y}{60}$ (giờ). Vì phân xưởng làm 8 tiếng mỗi ngày nên ta có $\frac{x}{30}+\frac{y}{60} \le 8$ hay $2x+y \le 480$ $(1)$. Tổng số tiền lãi khi bán $x$ sản phẩm loại I và $y$ sản phẩm loại II là $T=24x+15y$ (nghìn đồng). Theo giả thiết ta có $0 \le x \le 200$ $(2)$, $0 \le y \le 240$ $(3)$. Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$ ta có hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} 2x+y \le 480 \\ 0 \le x \le 200 \\ 0 \le y \le 240 \end{array} \right.$ $(I)$ và $(x,y) \in \mathbb{N}^*$. Ta có miền nghiệm của hệ $(I)$ là miền ngũ giác $OABCD$ với $O(0;0)$, $A(0;240)$, $B(120;240)$, $C(200;80)$, $D(200;0)$. Ta có $T=24x+15y$ đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác $OABCD$. Với $O(0;0)$ ta có $T=0$. Với $A(0;240)$ ta có $T=3600$ (nghìn đồng). Với $B(120;240)$ ta có $T=6480$ (nghìn đồng). Với $C(200;80)$ ta có $T=6000$ (nghìn đồng). Với $D(200;0)$ ta có $T=4800$ (nghìn đồng). Vậy khi tiền lãi lớn nhất, số sản phẩm loại I là 120 sản phẩm và số sản phẩm loại II là 240 sản phẩm. Tổng là 360.