Cho $x,y$ thỏa $\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x-1 \le 0 \\ y+1 \ge 0 \\ x-y+3 \ge 0 \end{array} \end{array} \right. $. Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức $M=2x+y$ bằng bao nhiêu?

Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{ll} x-1 \le 0 & (1) \\ \begin{array}{l} y+1 \ge 0 \\ x-y+3 \ge 0 \end{array} & \begin{array}{l} (2) \\ (3) \end{array} \end{array} \end{array} \right. $. Vẽ các đường thẳng sau trên cùng hệ trục tọa độ: $ d_1 :x-1=0 $ $ d_2 :y+1=0 $ $ d_3 :x-y+3=0 $ Điểm $O$ thỏa mãn cả ba bất phương trình $(1), (2), (3)$ nên miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền được tô màu. Kể cả các đường thẳng $d_1, d_2, d_3$. Gọi $A(-4;-1)$ là giao điểm của $d_2$ và $d_3$. $B(1;-1)$ là giao điểm của $d_1$ và $d_2$. $C(1;4)$ là giao điểm của $d_1$ và $d_3$. Tại $A(-4;-1) \Rightarrow M=2x+y=-9$. Tại $B(1;-1) \Rightarrow M=2x+y=1$. Tại $C(1;4) \Rightarrow M=2x+y=6$. Vậy $M_{\max} = 6$.