Cho hệ bất phương trình: $ \left\{ \begin{array}{l} x - 2y \le 2 \\ 3x + y \le 15 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{array} \right. $.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$: - Các đường thẳng ranh giới gồm: $d_1: x - 2y = 2$, $d_2: 3x + y = 15$, trục $Ox$ ($y = 0$) và trục $Oy$ ($x = 0$). - Giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là $B\left(\frac{32}{7}; \frac{9}{7}\right)$. - Giao điểm của $d_1$ với trục $Ox$ là $C(2; 0)$. - Giao điểm của $d_2$ với trục $Oy$ là $A(0; 15)$. Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác $OABC$ (kể cả các cạnh) với các đỉnh $O(0; 0)$, $A(0; 15)$, $B\left(\frac{32}{7}; \frac{9}{7}\right)$, $C(2; 0)$. Xét từng mệnh đề: - a) Đúng: Thay tọa độ $M(1; 1)$ vào hệ ta được: $1 - 2(1) = -1 \le 2$; $3(1) + 1 = 4 \le 15$; $1 \ge 0$; $1 \ge 0$ (luôn đúng). Do đó, miền nghiệm chứa điểm $M(1; 1)$. - b) Đúng: Điểm $N(0; 3)$ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ nên thuộc miền nghiệm (cụ thể nằm trên cạnh $OA$ của tứ giác). - c) Sai: Các điểm có tọa độ nguyên nằm trên các trục tọa độ thuộc miền nghiệm bao gồm: + Trên trục $Ox$ ($y = 0$): Do $x \ge 0$ và $x - 2(0) \le 2 \Rightarrow 0 \le x \le 2$. Có 3 điểm nguyên là $(0; 0)$, $(1; 0)$, $(2; 0)$. + Trên trục $Oy$ ($x = 0$): Do $y \ge 0$ và $3(0) + y \le 15 \Rightarrow 0 \le y \le 15$. Có 16 điểm nguyên từ $(0; 0)$ đến $(0; 15)$. + Gốc tọa độ $O(0; 0)$ được tính hai lần. Do đó, tổng số điểm nguyên phân biệt trên hai trục là: $3 + 16 - 1 = 18$ điểm. - d) Đúng: Tính giá trị của $F(x; y) = 2x - y$ tại các đỉnh của tứ giác: + $F(O) = F(0; 0) = 0$ + $F(A) = F(0; 15) = -15$ + $F(B) = F\left(\frac{32}{7}; \frac{9}{7}\right) = 2 \cdot \frac{32}{7} - \frac{9}{7} = \frac{55}{7}$ + $F(C) = F(2; 0) = 4$ Suy ra giá trị lớn nhất $a = \frac{55}{7}$ và giá trị nhỏ nhất $b = -15$. Ta có: $7a + 2b = 7 \cdot \frac{55}{7} + 2 \cdot (-15) = 55 - 30 = 25$.