Cho hình hộp chữ nhật $ ABCD.A'B'C'D' $ có $ AB=x $, $ AD=3 $. Biết rằng góc giữa đường thẳng $ A'C $ và mặt phẳng $ \left ( { ABB'A' } \right ) $ bằng $ 60 ^ { 0 } $. Tìm giá trị lớn nhất $ V_{ \max } $ của thể tích khối hộp $ ABCD.A'B'C'D' $.

Ta có $ B $ là hình chiếu vuông góc của $ C $ trên mặt phẳng $ \left ( { ABB'A' } \right ) $, góc giữa đường thẳng $ A'C $ và mặt phẳng $ \left ( { ABB'A' } \right ) $ là góc $ \widehat { BA'C } $ (vì $ \widehat { BA'C } $ nhọn do tam giác $ A'BC $ vuông tại $ B $). Vậy $ \widehat { BA'C }=60 ^ { 0 } $. Tacó $ A'B=\frac { BC } { \tan \widehat { BA'C } }=\frac { 3 } { \sqrt[] { 3 } }=\sqrt[] { 3 } $;$ A'A=\sqrt[] { A'B ^ { 2 } -AB ^ { 2 } }=\sqrt[] { 3-x ^ { 2 } } $. $ V=AB.AD.AA'=3.x.\sqrt[] { 3-x ^ { 2 } }\leq 3.\frac { x ^ { 2 } +3-x ^ { 2 } } { 2 }=\frac { 9 } { 2 } $ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $ x=\sqrt[] { 3-x ^ { 2 } }⇒x ^ { 2 } =3-x ^ { 2 } ⇔\,x ^ { 2 } =\frac { 3 } { 2 }⇒x=\sqrt[] { \frac { 3 } { 2 } } $. Vậy giá trị lớn nhất $ V_{ \max } $ của thể tích khối hộp $ ABCD.A'B'C'D' $là $ \frac { 9 } { 2 } $.