Cho hình lăng trụ tam giác đều $ ABC⋅A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } $ có cạnh đáy bằng $ 2a $, khoảng cách từ điểm $ A ^ { ′ } $ đến mặt phẳng $ \left ( { AB ^ { ′ } C ^ { ′ } } \right ) $ bằng $ \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $. Khi đó:

a) Đúng. Trong mặt phẳng $ \left ( { A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } } \right ) $, kẻ $ A ^ { ′ } H⊥B ^ { ′ } C ^ { ′ } $ tại $ H $. Trong mặt phẳng $ \left ( { AA ^ { ′ } H } \right ) $, kẻ $ A ^ { ′ } K⊥AH $ tại $ K $. (1) Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} B'C'⊥A'H \\ B'C'⊥AA'({ \rm{ do } },AA'⊥(A'B'C')) \end{array} \right.⇒B'C'⊥(AA'H)⇒A'K⊥B'C'(2) $ b) Đúng. Từ (1) và (2) suy ra $ A ^ { ′ } K⊥\left ( { AB ^ { ′ } C ^ { ′ } } \right ) $ hay $ d\left ( { A ^ { ′ } ,\left ( { AB ^ { ′ } C ^ { ′ } } \right ) } \right )=A ^ { ′ } K=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $. Tam giác $ A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } $ đều có đường cao $ A ^ { ′ } H=\frac { 2a⋅\sqrt[] { 3 } } { 2 }=a\sqrt[] { 3 } $. Tam giác $ AA ^ { ′ } H $ vuông tại $ A ^ { ′ } $ có đường cao $ A ^ { ′ } K $ nên $ \frac { 1 } { A ^ { ′ } K ^ { 2 } }=\frac { 1 } { A ^ { ′ } H ^ { 2 } }+\frac { 1 } { A ^ { ′ } A ^ { 2 } }⇒\frac { 1 } { \frac { 3a ^ { 2 } } { 4 } }=\frac { 1 } { 3a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { A ^ { ′ } A ^ { 2 } }⇒A ^ { ′ } A=a{ \rm{ . } } $ Hai mặt đáy lăng trụ song song với nhau và có khoảng cách là: $ d\left ( { (ABC),\left ( { A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } } \right ) } \right )=AA ^ { ′ } =a{ \rm{ . } } $ c) Sai. Diện tích đáy của lăng trụ (đáy là tam giác đều) là: $ S_{ ΔA ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } } =\frac { (2a) ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }=a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } $ d) Đúng. Thể tích khối lăng trụ là: $ V=AA ^ { ′ } ⋅S_{ ΔA ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } } =a⋅a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 }=a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } $ (đơn vị thể tích).