Cho hình chóp $ SABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông tâm $ O $ cạnh $ a $. $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $ và $ SA=a\sqrt[] { 2 } $. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ BC,CD $. Xét tính đúng – sai của các khẳng định sau.

a) Đúng. $ \left \{ \begin{array}{l} CB⊥SA \\ CB⊥AB \\ SA∩AB=A \end{array} \right.⇒CB⊥\left ( { SAB } \right )⇒d\left ( { C\,;\,\left ( { SAB } \right ) } \right )=CB=a $ b) Sai. $ \left \{ \begin{array}{l} BD⊥SA \\ BD⊥AC \\ SA∩AC=A \end{array} \right.⇒BD⊥\left ( { SAC } \right )⇒\left ( { SBD } \right )⊥\left ( { SAC } \right ) $ Mà $ \left ( { SBD } \right )∩\left ( { SAC } \right )=SO \\ AH⊥SO\,\,\left ( { H\in SO } \right ) $. Suy ra $ AH⊥\left ( { SBD } \right ) $ $ ⇒d\left ( { A\,;\,\left ( { SBD } \right ) } \right )=AH=\frac { a\sqrt[] { 10 } } { 5 } $ Với $ ΔSAO:\frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AB ^ { 2 } }⇒AH=\frac { a\sqrt[] { 10 } } { 5 } $. c) Đúng. $ V_{ SAMN } =\frac { 1 } { 3 }SA.S_{ ΔAMN } =\frac { 1 } { 3 }.a\sqrt[] { 2 }.\frac { 3a ^ { 2 } } { 8 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 8 } $ Với $ S_{ ΔAMN } =S_{ ABCD } -S_{ ΔABM } -S_{ ΔADN } -S_{ ΔCMN } =a ^ { 2 } -\frac { 1 } { 2 }.\frac { a } { 2 }.a-\frac { 1 } { 2 }.\frac { a } { 2 }.a-\frac { 1 } { 2 }.\frac { a } { 2 }.\frac { a } { 2 }=\frac { 3a ^ { 2 } } { 8 } $. d) Sai. Mà $ DM⊥SA $. Suy ra $ DM⊥\left ( { SAN } \right ) $ Gọi $ K=AN∩DM $. Kẻ $ KE⊥SN\,\,\left ( { E\in SN } \right ) $. Có $ KE⊥DM $. Nên $ d\left ( { DM\,;\,SN } \right )=KE $. Ta tính được $ AN=\frac { a\sqrt[] { 5 } } { 2 };\,SN=\frac { a\sqrt[] { 13 } } { 2 };\,NK=\frac { a\sqrt[] { 5 } } { 10 } $ $ sinSNA=\frac { SA } { SN }=\frac { KE } { KN }⇒KE=\frac { SA.KN } { SN }=\frac { a\sqrt[] { 130 } } { 65 } $ Vậy $ d\left ( { DM\,;\,SN } \right )=\frac { a\sqrt[] { 130 } } { 65 } $