Cho hình chóp $ S.ABCD $có đáy là hình chữ nhật; $ AB=a;\,AD=2a $. Tam giác $ SAB $ cân tại $ S $ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng $ SC $ và mp$ \left ( { ABCD } \right ) $ bằng $ 45° $. Gọi $ M $ là trung điểm của $ SD $, $ H $là trung điểm $ AB $. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Đúng. Ta có: $ H $ là trung điểm đoạn$ AB $ Khi đó: $ SH⊥AB $ $ ⇒SH⊥\left ( { ABCD } \right ) $. Ta có góc giữa đường thẳng $ SC $ và mp$ \left ( { ABCD } \right ) $là $ \overset ⌢ { SCH } $ b) Đúng. Xét $ \vartriangle BCH $ vuông tại $ B $, có: $ CH=\sqrt[] { 4a ^ { 2 } +\frac { a ^ { 2 } } { 4 } }=\frac { a\sqrt[] { 17 } } { 2 } $. Xét $ \vartriangle SHC $ vuông cân tại $ H $, có: $ SH=\frac { a\sqrt[] { 17 } } { 2 };\,SC=\frac { a\sqrt[] { 34 } } { 2 } $. Ta có: $ V_{ S.ABCD } =V=\frac { 1 } { 3 }.SH.S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { a\sqrt[] { 17 } } { 2 }.2a.a=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 17 } } { 3 } $ c) Sai. Ta có: $ V_{ S.ABCD } =V=\frac { 1 } { 3 }.SH.S_{ ABCD } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 17 } } { 3 } $; $ V_{ S.ACD } =\frac { 1 } { 2 }V=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 17 } } { 6 } $. $ V_{ S.ACM } =\frac { 1 } { 2 }V_{ S.ACD } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 17 } } { 12 } $. d) Đúng. Xét $ \vartriangle SAH $ vuông tại $ H $, có: $ SA=\sqrt[] { \frac { 17a ^ { 2 } } { 4 }+\frac { a ^ { 2 } } { 4 } }=\frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 2 }a $. Xét $ \vartriangle ABC $ vuông tại $ B $, có: $ AC=\sqrt[] { a ^ { 2 } +4a ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 5 } $. $ ⇒S_{ \vartriangle SAC } =\frac { \sqrt[] { 89 } } { 4 }a ^ { 2 } $. Mà $ V_{ S.MAC } =\frac { 1 } { 3 }.d.S_{ \vartriangle SAC } =\frac { \sqrt[] { 89 } } { 12 }a ^ { 2 } .d ⇒ d=\frac { a\sqrt[] { 1513 } } { 89 } $.