Cho hình chóp $ S.ABCD $có đáy là hình vuông, cạnh $ SA $ vuông góc với đáy, góc giữa đường thẳng $ SB $ và mặt đáy bằng $ 60 ^ { 0 } $. Gọi $ M,N,P $lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ A $ lên các đường thẳng $ SB,SC,SD $, khoảng cách giữa hai đường thẳng$ MN $và $ BD $ bằng $ 3\sqrt[] { 2 } $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $(kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

* Do $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $ nên góc giữa đường thẳng $ SB $ và mặt đáy là góc $ \widehat { SBA }\Rightarrow \widehat { SBA }=60 ^ { 0 } $. * Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} SA⊥BC \\ AB⊥BC \end{array} \right.\Rightarrow BC⊥\left ( { SAB } \right )\Rightarrow BC⊥AM $. Lại có $ AM⊥SB $ nên có $ AM⊥\left ( { SBC } \right )\Rightarrow AM⊥SC $. Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được $ AP⊥SC $. Từ đó suy ra các đường thẳng $ AM,AN,AP $cùng vuông góc với $ SC $nên chúng đồng phẳng hay$ SC⊥\left ( { AMNP } \right ) $. * Do $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $nên $ SA⊥AB $và $ SA⊥AD $, xét hai tam giác vuông $ SAB $ và $ SAD $có $ AB=AD $và $ SA $chung nên chúng bằng nhau. Gọi cạnh hình vuông là $ x $thì $ SA=AB.\tan60 ^ { 0 } =x\sqrt[] { 3 } $ $ \Rightarrow SB=SD=\sqrt[] { x ^ { 2 } +\left ( { x\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } }=2x $. Lại có khoảng cách giữa $ MN $ và $ BD $ bằng $ \frac { x } { \sqrt[] { 5 } } $. Theo giả thiết $ \frac { x } { \sqrt[] { 5 } }=3\sqrt[] { 2 }\Rightarrow x=3\sqrt[] { 10 } $. Khi đó $ SA=x\sqrt[] { 3 }=3\sqrt[] { 30 } $ và diện tích đáy $ S_{ ABCD } =x ^ { 2 } =90 $. Vậy $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.SA.S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.3\sqrt[] { 30 }.90=90\sqrt[] { 30 }≈493 $.