Trắc nghiệm · Câu 31
Thể tích của khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $ a $ là
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
$ \frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 6 } $
Lời giải
Chọn A
Giả sử khối chóp tứ giác đều đã cho là $ S.ABCD $. Khi đó $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $ và $ SA=SB=SC=SD=a $.
Gọi $ H $ là tâm của hình vuông $ ABCD $ thì $ SH⊥\left ( { ABCD } \right ) $ nên $ SH $ là chiều cao của khối chóp $ S.ABCD $.
Xét tam giác $ ABC $ vuông tại $ B $ ta có: $ AC=\sqrt[] { AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } } =\sqrt[] { a ^ { 2 } +a ^ { 2 } } =a\sqrt[] { 2 } $.
Ta thấy $ AC ^ { 2 } =SA ^ { 2 } +SC ^ { 2 } $ nên tam giác $ SAC $ vuông tại $ S $. Suy ra $ SH=\frac { AC } { 2 } =\frac { a } { \sqrt[] { 2 } } $.
Diện tích đáy của khối chóp $ S.ABCD $ là $ S_{ ABCD } =a ^ { 2 } $.
Vậy thể tích khối chóp $ S.ABCD $ là: $ V=\frac { 1 } { 3 }.S_{ ABCD } .SH =\frac { 1 } { 3 }.a ^ { 2 } .\frac { a } { \sqrt[] { 2 } } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 6 } $