Đúng/Sai · Câu 34
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình chữ nhật có cạnh $ AB=2a $, tam giác $ SAB $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $ H,K $ lần lượt là trung điểm $ AB $ và $ CD $. Biết rằng, thể tích của khối chóp đã cho bằng $ \frac { 2a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 3 } $. Khi đó:
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Đúng
- d. Sai
Lời giải
a) Đúng. Gọi $ H,K $ lần lượt là trung điểm $ AB $ và $ CD $.
Ta có tam giác $ SAB $ đều nên $ SH⊥AB $.
Mặt khác $ (SAB)⊥(ABCD) $, suy ra $ SH⊥(ABCD)⇒SH⊥HK $.
b) Sai. Tam giác $ SAB $ đều cạnh $ 2a $ nên đường cao $ SH=\frac { 2a\sqrt[] { 3 } } { 2 }=a\sqrt[] { 3 } $.
Ta có: $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.SH.S_{ ABCD } ⇒V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.SH.AB.AD⇒AD=\frac { 3.V_{ S.ABCD } } { SH.AB }⇒AD=a. $
c) Đúng. Ta có:$ HK $ là đường trung bình của hình chữ nhật $ ABCD $ nên $ HK//AD//BC⇒HK⊥AB $. (1)
Ta lại có:$ SH⊥AB $. (2)
Từ (1) và (2) suy ra $ \widehat { SHK } $ là góc phẳng nhị diện $ [S,AB,C] $ và $ \widehat { SHK }=90 ^ { ° } $.
d) Sai. Theo câu c), ta có: $ CD⊥HK $. (3)
Mặt khác $ SH⊥(ABCD) $ nên $ CD⊥SH $.
Suy ra $ CD⊥(SHK)⇒CD⊥SK $. (4)
Từ (3) và (4) suy ra $ \widehat { SKH } $ là góc phẳng nhị diện $ [S,CD,A] $.
Ta có: $ HK=BC=a $.
Do đó $ \tan \widehat { SKH }=\frac { SH } { HK }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { a }=\sqrt[] { 3 }⇒ \widehat { SKH }=60 ^ { ° } $.