Cho hai số thực $ a $,$ b $ thỏa mãn $ 1 < a < b $ và $ \frac { 1 } { \log_{ b } a }+\frac { 1 } { \log_{ a } b }=\sqrt[] { 2024 } $. Tính giá trị của biểu thức $ P=\frac { 1 } { \log_{ ab } b }-\frac { 1 } { \log_{ ab } a } $. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Theo giả thiết, ta có $ \frac { 1 } { \log_{ b } a }+\frac { 1 } { \log_{ a } b }=\sqrt[] { 2024 }⇒\log_{ b } a+\log_{ a } b=\sqrt[] { 2024 }. $ Biến đổi biểu thức $ P=\frac { 1 } { \log_{ ab } b }-\frac { 1 } { \log_{ ab } a }=\log_{ b } ab-\log_{ a } ab=1+\log_{ b } a-\left ( { 1+\log_{ a } b } \right )=\log_{ b } a-\log_{ a } b. $ Vì $ 1 < a < b $ nên $ \left \{ \begin{array}{l} \log_{ b } a < 1 \\ 1 < \log_{ a } b \end{array} \right.. $ Suy ra $ \log_{ b } a-\log_{ a } b < 0. $ Hơn nữa $ P ^ { 2 } =\left ( { \log_{ b } a-\log_{ a } b } \right ) ^ { 2 } =\left ( { \log_{ b } a+\log_{ a } b } \right ) ^ { 2 } -4\log_{ b } a\log_{ a } b=2024-4=2020 $. Vậy $ P=-\sqrt[] { 2020 }≈-45 $.