Cho $ a,\,\,b $ là các số thực dương khác 1 và thỏa mãn $ \ln a+\ln\left ( { 8b } \right )=2\ln\left ( { a+2b } \right ). $ Kết quả rút gọn biểu thức $ P=\log_{ b } \left ( { 2a } \right )+\log_{ \frac { a } { 2 } } \left ( { 2b } \right )-\frac { 1 } { \log_{ 8 } b } $ là

Ta có: $ \ln a+\ln\left ( { 8b } \right )=2\ln\left ( { a+2b } \right )⇔\ln\left ( { 8ab } \right )=\ln\left ( { a+2b } \right ) ^ { 2 } ⇔8ab=\left ( { a+2b } \right ) ^ { 2 } ⇔\left ( { a-2b } \right ) ^ { 2 } =0 $ $ ⇔a=2b. $ Khi đó: $ P=\log_{ b } \left ( { 2a } \right )+\log_{ \frac { a } { 2 } } \left ( { 2b } \right )-\frac { 1 } { \log_{ 8 } b }=\log_{ b } \left ( { 4b } \right )+\log_{ b } \left ( { 2b } \right )-\log_{ b } 8=\log_{ b } \frac { 8b ^ { 2 } } { 8 }=2 $