Cho hàm số $y = \frac{x^{2} + 3x + 3}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $d_{1}$ là khoảng cách giữa hai điểm cực trị của $(C)$ và $d_{2}$ là khoảng cách từ điểm cực tiểu của $(C)$ đến gốc tọa độ. Giá trị của $d_{1}^{2} + 2d_{2}^{2}$ bằng bao nhiêu?

Lời giải Hàm số $y = \frac{x^{2} + 3x + 3}{x + 1}$. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. $$ y' = \frac{x^{2} + 2x}{(x + 1)^{2}}, \forall x \neq -1 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x = -2 \end{array} \right. $$ Đồ thị hàm số có điểm cực đại $M(-2; -1)$, điểm cực tiểu $N(0; 3)$. Có $d_{1} = MN = \sqrt{(0 - (-2))^{2} + (3 - (-1))^{2}} = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5} \Rightarrow d_{1}^{2} = 20$. $d_{2} = ON = 3 \Rightarrow d_{2}^{2} = 9$. Vậy $d_{1}^{2} + 2d_{2}^{2} = 20 + 2(9) = 38$.